Sistemas discretos

Republica Bolivariana de Venezuela

I.U.P SANTIAGO MARIÑO

Escuela: Ingeniería Electrónica.

Materia: Teoría Moderna de Control.

Turno: Nocturno.

VARIABLES DE ESTADO

PARA SISTEMAS DISCRETOS

T.S.U:

Rubén D. Mejía S. C.I: 17.146.556

Sistemas Discretos.

Se define un sistema discreto como aquel que transforma una señal discreta original x(n) a otra final y(n).[pic]

Sus señales son consideradas o existen sólo a intervalos discretos de tiempo. Suelen ser resultado de un muestreo de señales continuas.

➢ Un sistema que acepta secuencias de números y las procesa numéricamente. El tiempo no aparece explícitamente, Hay errores de “redondeo” que afectan fundamentalmente a la precisión del resultado.

➢ Un sistema de “propósito general” queacepta señales/secuencias y las procesa numéricamente.

Señales discretas tipo principales.

➢ Impulso unitario.

➢ Exponencial real.

➢ Sinusoide.

Un sistema discreto es invariante temporal si desplazamientos temporales de la entrada se traducen en los mismos desplazamientos temporales a la salida del sistema.

{yn} = T{xn} !" {yn−d} = T{xn−d}.

Un sistemadiscreto es lineal si para cualquier par de constantes a y b se cumple la siguiente igualdad.

T{a · xn + b x"n } = a · T{xn} + b · T{x"n }.

La ecuación de estado de un sistema discreto:

 

Variables de estado.

Podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado:
 
      ecuación de estado                                      
ecuación de salida

Observabilidad.

El sistema discreto descripto por las siguientes ecuaciones de estado:

x(k+1) = A(k).x(k),                k ≥ k0,     x(k0) = x0    

y(k)     = C(k).x(k)

es completamente observable sobre [k0, k1], si y solo si las columnas de la matriz C(k).F(k) son linealmente independientes sobre [k0, k1], donde F(k) es la matriz de transición delsistema sin forzar.
 
Para los sistemas l.t.i., estos dos teoremas pueden ser trasladados a un criterio fácilmente aplicable sobre las matrices A y C. Nuevamente notar, que debido a la invarianza en el tiempo, no necesitamos especificar un intervalo de tiempo [t0, t1] ó [k0, k1], como hicimos en el caso variante en el tiempo.
 

Los sistemas l.t.i. no-forzados:

               [pic],                  [pic]                  y
                [pic],         [pic]

donde A y C son matrices constantes de dimensiones nxn y mxn respectivamente, son completamente observables, si y solo si, la matriz de observabilidad de dimensión (m.n)xn

                [pic]
es de rango n.

Controlabilidad.

El sistema discreto descripto por las siguientes ecuaciones de estado:[pic],                     k ≥ k0     

es completamente controlable sobre [k0, k1], si y solo si las filas de la matriz F -1(k+1).B(k) son linealmente independientes sobre [k0, k1] donde F(k) es la matriz de transición del sistema sin forzar (cuando u(k) = 0).
O en forma equivalente, si y solo si la matriz (de Gram):
[pic]
es no singular.

Más aún, el control u(k) que transfiere elestado del sistema completamente controlable desde x(k0) = x0 a x(k1) = 0 es:
[pic]
 
Para sistemas l.t.i. (invariantes en el tiempo) estos teoremas pueden transladarse a criterios aplicables fácilmente sobre las matrices A y B.
Notar que ahora para los sistemas l.t.i., debido a la invarianza sobre el  tiempo, no necesitamos especificar el intervalo de controlabilidad [t0, t1] ó [k0, k1]como en el caso variante en el tiempo.

Esto es, si un sistema l.t.i. es completamente controlable sobre algún intervalo de tiempo, entonces es completamente controlable sobre cualquier intervalo de tiempo.
 
El sistema:
 
               [pic]               

donde A y B son matrices constantes de dimensiones nxn, y nxr  respectivamente, es completamente...