sIstemas digitales

ALGEBRA DE BOOLE

Modulo: Mantenimiento, operación y diseño con dispositivos y circuitos electrónicos digitales.

INTRODUCCIÓN: George Boole creó el álgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretendía explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por las que se rigen los razonamientos. En esa época nadie pudoprever la utilización de esta álgebra en el diseño de circuitos digitales.
Como veremos las operaciones se realizarán mediante relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables.
Podemos decir, que el sistema denumeración binario y el álgebra de Boole constituyen la base matemática para el diseño y construcción de sistemas digitales
Se define Función Lógica a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos + y x. Por ejemplo: S=(a.b) + b.c. Siendo S la función, mientras que a, b y c son las variables. Esta función la leeríamos dela siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas (1) la función lógica S es verdadera (1).
Mediante contactos podríamos explicar  o aclarar la función lógica.

Tablas de verdad.- A través de las tablas de verdad se puede conocer teóricamente el comportamiento de las funciones lógicas, en función de los niveles que se aplican a la entrada. Más adelante veremos como además  nos van a servirpara diseñar circuitos digitales.
3.2. FUNCIONES BÁSICAS BOOLEANAS TABLAS DE VERDAD
A) Función YES (Igualdad) a) contactos b) Normalizado c) No normalizado

B) Función OR (O)

C) Función AND (Y)D) Función NOT (NO) (Negación o función complemento)

E)Función NOR (NO-O)

F) Función NAND (NO-Y)

G) Función OR-EXCLUSIVA (OR-EX)

H) Función NOR-EXCLUSIVA (NOR-EX)Postulados:
Los postulados para las tres operaciones básicas, AND, OR Y NOT, son suficientes para deducir cualquier relación boleana




Teoremas

1. Regla del cero y la unidad
a) X + 0 = X
b) X + 1 = 1
c) X · 1 = X
d) X · 0 = 0



2. Idempotencia o potencias igualesa) X + X = X
b) X · X = X



3. Complementación
a) X + = 1
b) X · = 0



4. Involución





5. Conmutatividad
a) conmutatividad de la suma

X + Y = Y + X  
b) conmutatividad de la multiplicación

X ·  Y = Y  · X   



6. Asociatividad
b) asociatividad dede la multiplicación

X ·  (Y  · Z) = (X  · Y)  · Z  
a) asociatividad de la suma

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z  



7. Distributividad
a) distributividad de la suma

X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)  
b) distributividad de de la multiplicación

X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)  



8. Leyes de absorción
a) X · (X + Y)= X...