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Sistemas Numéricos

Sistema Numérico
Se llama sistema numérico al conjunto ordenado de símbolos o dígitos y a las reglas con que se combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno de ellos se identifica por su base.

Dígito
Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación de otros y que representa un entero positivo.Bit
Es un dígito binario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un 1.

Base de un sistema numérico
La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.

A continuación se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numéricos más comúnmente usados que son:



Notación
En adelante, para distinguir entre los diferentes sistemasnuméricos encerraremos entre paréntesis el número y le añadiremos un subíndice, indicando la base que se está usando.

Sin embargo, si no se usa subíndice se deberá entender que el número está en base diez, a
menos que se diga lo contrario.

Ejemplos:
35 = (35)10 = 35 base 10 (sistema decimal)
(110100)2 = 110100 base 2 (sistema binario)
(34)16 = 34H = 34 base 16 (sistema hexadecimal)

Sistemade numeración decimal:

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad desímbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.

En este sistema el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo,
5⋅1022⋅1018⋅100=528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunosexponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía
como:



Sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), que tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. El valor de cada posición es el de unapotencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:












Conversión entre númerosdecimales y binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar el
número binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos. Por
ejemplo:

77 : 2 = 38 Resto: 1
38 : 2 = 19 Resto: 0
19 : 2 = 9 Resto: 1
9 : 2 = 4 Resto: 1
4 : 2 = 2 Resto: 02 : 2 = 1 Resto: 0
1 : 2 = 0 Resto: 1
7710 = 1 0 0 1 1 0 12

La cantidad de dígitos necesarios, para representar un número en el sistema binario, dependerá del valor de dicho número en el sistema decimal. En el caso anterior, para representar el número 77 han hecho falta siete dígitos. Para representar números superiores harán falta más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayoresde 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28=256 y, por tanto, 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.

Es importante distinguir entre los números que pueden representarse con n dígitos binarios, que es 2n, y el mayor de esos números, que es una unidad menos, es decir, 2n–1.

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más...
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