Sistemas numericos

RELACIÓN ENTRE LOS CONJUNTOS NUMÈRICOS: N, Z, Q, R

EL NUMERO INFINITO (∞)

Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.

Infinito no se puede medir.

Incluso las galaxias lejanas no pueden competir con infinito.

Infinito es sencillo

¡Sí! En realidad es más sencillo que muchas cosas que sí tienen final. Porque si algo tiene final, tienes que definirdónde está ese final.

Ejemplo: una "línea" tiene longitud infinita, va en las dos direcciones sin final. Si tiene final es un rayo (uno) o un segmento (dos).

Números grandes

Hay números impresionantemente grandes.

Un Gúgol es un 1 seguido de cien ceros (10100)

Un gúgol ya es más grande que el número de partículas en el universo conocido, pero existe el Gúgolplex. Es un 1 seguido de ungúgol de ceros. Ni siquiera se puede escribir el número, porque no hay suficiente materia en el universo para escribir los ceros:

Por ejemplo, un gúgolplex se puede escribir así: [pic]
Esto es diez elevado a (10 elevado a 100), Pero imagina un número todavía más grande como [pic] ¡Y es fácil crear números mucho más grandes que estos!

Finitos

Todos estos números son "finitos". Lo quesignifica que hay un límite a lo grandes que son.

Pero ninguno de esos números se acerca un poco a infinito.

Usar infinito

A veces podemos usar como si fuera un número, pero infinito no se comporta como un número real.

Por ejemplo: ∞ + 1 = ∞

Quiere decir que infinito más uno es igual a infinito.

Ejemplo: ¿∞ / ∞ no es igual a 1?

No, porque en realidad no sabemos cuán grande esinfinito, así que no podemos decir que dos infinitos son iguales. Por ejemplo ∞ + ∞ = ∞, así que

[pic] y eso diría que: [pic][pic]

Eso no tiene sentido! También podríamos haber llegado a 1=3 y otras cosas... así que decimos que ∞ / ∞ está indefinido.

Distintas tallas de infinito

Si sigues estudiando este tema encontrarás que hay diferentes tamaños de infinito. Por ejemplo, hay infinitosnúmeros enteros {0,1,2,3,4,...}, pero hay más números reales (como 12.308 o 1.111111) porque cualquier número real puede tener un número infinito de cifras decimales.

Conclusión

Infinito es una idea simple: "interminable". Casi todas las cosas que conocemos tienen fin, pero infinito no.

SISTEMA NUMERICO N.- Después del cuatro sigue el cinco. Por increíble que parezca, este conocimientoesta en la base de toda una formalización de la aritmética. Mas en concreto Giussepe Peano 1899, definió el conjunto N de los números naturales de manera axiomática basándose en tres conceptos primitivos: Cero, numero y la función “sucesor de”.

Por otro lado se debe tener en cuenta que el sistema N es infinito y que la descripción por enumeración es aceptada solo por convenio, En otraspalabras, la representación que se da a los números naturales los determina. Esa evidente incorrección formal será tratada a continuación.

AXIOMAS DE PEANO

La presentación de N={0,1,2,3,4…} encierra los convenios tácitos.
• El numero cero
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
es el numero mas pequeño, el primero.
• El numero uno genera el resto de números, el siguiente a un numero se obtienesumando uno al anterior. La sucesión no termina nunca tiene infinitos números. La sucesión no se ramifica; Todo número tiene un único siguiente. Todo número tiene un antecesor excepto el cero que no tiene.
• La sucesión no se cierra sobre si misma (como ocurre en un reloj).
• Entre dos números naturales consecutivos cualesquiera no hay otro numero natural.

Peano recoge tres conceptosprimitivos: Cero (el primer elemento del conjunto de los números naturales, el que no tiene antecesor), numero (es decir numero natural) y la relación binario es sucesor de a partir de estos tres conceptos primeros definió los números naturales y dedujo todas sus propiedades. Siendo los axiomas:

• 0 (cero) pertenece a N, esto es, 0 es un número. [pic]
✓ Si n pertenece a N entonces el sucesor...