Sistemas numericos

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CAPITULO Nº1 SISTEMAS NUMÉRICOS 1. Introducción.

La necesidad del hombre de representar cantidades lo ha llevado a inventar símbolos que las representen. Se entiende por número a una expresión formada por un símbolo o una secuencia de símbolos que representan una cantidad. Se entiende por sistema numérico a los símbolos y al conjunto de reglas que se aplican sobre ellos para realizar larepresentación de una cantidad. El sistema numérico más simple que se puede pensar es el que asocia la cantidad unitaria con un símbolo. La regla de generación de otras cantidades es un símbolo por elemento a contar. El sistema anterior tiene evidentes problemas cuando se desea representar cantidades grandes. Por ello, se comenzó a utilizarse un conjunto finito de símbolos que equivalen a una cantidaddeterminada, y a través de la combinación de ellos, siguiendo una regla específica, se representan las otras cantidades.

Los egipcios utilizaban para representar cantidades un sistema similar al decimal, donde asignaban un símbolo gráfico a las potencias de 10 desde el 1 al 1.000.000. Los siete símbolos empleados eran los siguientes:

1

10

100

1.000

10.000 100.000

1.000.000Una característica del sistema egipcio de numeración es ser de base 10 y además ser aditivo. De esta forma, el número 42 se escribía usando cuatro diez y dos unos.

El anterior es el método más básico, que resulta cómodo para expresar cantidades pequeñas. En el caso de cantidades grandes, los símbolos iguales se juntaban de la siguiente forma:

Uno de los sistemas numéricos más conocidos enoccidente es el sistema romano, en el cual existen ciertas cantidades que se representan por símbolos preestablecidos, a saber:

Decimal Romano

1 I

5 V

10 X

50 L

100 C

500 D

1000 M

Las restantes cantidades se forman mediante una combinación de los anteriores siguiendo las siguientes reglas: • Si una letra va seguida de otra de igual o menor valor se suman sus valores: II =1 + 1 = 2 III = 1 + 1 + 1 VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8 XVI = 10 + 5 + 1 = 16 LXXVII = 50 + 10 + 10 + 5 + 1 +1 = 77 • • •

Las letras V, L y D no se repiten. Las letras I, X , C y M se repiten máximo hasta tres veces seguidas. Si una letra va precedida inmediatamente de otra de menor valor, se le esta ese valor:

IX = 10 - 1 = 9 XL = 50 –10 = 40 CD = 1000-100 = 900 • Las letras V, L y D no seanteponen a otra de mayor valor. La letra I solo debe anteponerse a V y X. La letra X solo se antepone a L y C.



Si una letra está colocada después de una de mayor valor y antes de otra también de mayor valor que ella, se resta de esta última. MXC = 1000 + (100-10)

Una característica importante de este sistema es que los símbolos o dígitos tienen un valor fijo, independiente de la posiciónque tengan en el número.

2. Sistemas con notación posicional.

Al contrario del sistema griego y romano, en que el dígito o símbolo siempre tiene el mismo valor, independiente de la posición que ocupe en el número, en los sistemas con notación posicional la ubicación si tiene relevancia. Es decir, el símbolo adquiere un valor distinto dependiendo de la posición en que este se encuentre.

Enestos sistemas, el número se construye mediante una sumatoria de los dígitos ponderados por una potencia de la base. Nb = an-1*bn-1+ an-2*bn-2+ ... + a0*b0+a-1*b-1+ a-2*b-2+ ... + a-m*b-m Nb = Donde: Nb b ai n m Ejemplos : 3485610 es: 3 *104 + 4 * 103 + 8 *102 + 5 * 101 + 6 *100 34856,2410 es: 3 *104 + 4 *103 + 8 * 102 + 5 * 101 + 6 *100 + 2 * 10 –1 + 4 *10 -2 La cifra más significativa o dígitomás significativo (MSD) es el que tiene la ponderación más alta (MSD) y se encuentra más a la izquierda. El dígito menos significativo (LSD) es la que tiene es la tiene la ponderación más baja y se encuentra más a la derecha. : Número en sistema numérico de base b. : Base del sistema numérico. : Coeficiente de la potencia de la base (0 ≤ ai ≤ b –1) : Número de dígitos enteros. : Número de...
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