Sistemas Numéricos

Sistemas Numéricos

Sistemas con Notación Posicional (1)

Nb = an-1*bn-1+ an-2*bn-2+ ... + a0*b0+a-1*b1+ a-2*b-2+ ... + a-m*b-m

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Sistemas con Notación Posicional (2)
Nb : Número en sistema numérico de base b. b : Base del sistema numérico. ai : Coeficiente de la potencia de la base (0 ≤ ai ≤ b –1) n : Número de dígitos enteros. m : Número de dígitos decimales

n -1 N = ∑ a * bk b kk = -m

Sistemas Decimal
El sistema de numeración que utilizamos se denomina decimal ya que emplea diez dígitos para indicar una cantidad, y es además un sistema posicional ya que cada dígito debe su valor a la posición que ocupa en la cantidad a la que pertenece.
Valor posicional 4 en 10 0 3 en 10 1 5 en 10 2 1 en 10 3 10 3 10 2 10 1 10 0 4 3 5 1 4 3 5 1 x x x x 10 0 4 10 1 30 10 2 500 10 31000

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Sistema Binario
Éste como el decimal, es un sistema posicional; pero el valor de la posición viene dado por potencias de 2 ( 20, 21, 22,…) ya que solo se utilizan dos dígitos, el cero y el uno. Por tanto, si queremos convertir un número en base 2 (binario) al sistema decimal (base 10), no tenemos mas que multiplicar el dígito (0 ó 1) por la potencia de 2 correspondiente a suposición.
Valor posicional 23 22 21 20 1 en 20 1 1 en 21 1 0 en 22 0 1 en 23 1 Valor decimal 1 2 0 8

1 x 20 1 x 21 0 x 22 1 x 23

Conversión de base X a base 10
Se evalúa el polinomio que genera el número, realizando las operaciones en base 10. Si el sistema tiene base mayor a 10, previo a la evaluación del polinomio se convierten los símbolos en su equivalente a base 10.
1B17 334 = 3 * 41+3 * 40= 1510 = 1 * 171 + B * 170 = 1 * 171 + 11 * 170 = 2810

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Conversión de base 10 a base X (1)
Se realizan divisiones enteras sucesivas en las cuales el divisor es la base. Primer dividendo es el número en base 10. Siguientes dividendos son los cuocientes de las divisiones enteras. Los dígitos del número en base X están formados por los restos de las divisiones enteras. Dígito menossignificativo del número en base X corresponde al primer resto.

Conversión de base 10 a base X (2)
Dígito más significativo corresponde al último cuociente. Termina la división hasta que el cuociente sea menor que la base.

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Ejemplos de Conversión de base 10 a base X
D i 5 2 1 v is ió n 2 / 2 6 / 2 3 / 2 6 / 2 3 / 2 1 C o c ie n t e 2 6 1 3 6 3 1 R e s t o 0 0 1 0 1 1

División Cociente Resto332 / 16 20 12 = C 20 / 16 1 4 1 1

Sistema Hexadecimal
(Posicional). En este caso el valor de la posición viene dado por potencias de 16 (160, 161, 162,…). Como sólo poseemos 10 caracteres para representar los posibles dígitos, se añaden las letras A, B, C, D, E y F. Por tanto en base 16 disponemos de los siguientes caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, yF=15.

Valor posicional 163 162 161 160 Valor decimal F en 160 15 F F x 160 2 en 161 2 x 161 32 2 5 en 162 5 x 162 1280 5 A x 163 A en 163 40960 A

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Sistema Hexadecimal
Si lo que queremos es convertir una cantidad hexadecimal a decimal, seguiremos un método similar al utilizado con los valores binarios, teniendo en cuenta que si obtenemos como restos 10, 11, 12, 13, 14 ó 15 debemossustituirlos por A, B, C, D, E o F. Por tanto 332(10 = 14C(16 ó 14Ch. El sistema hexadecimal se suele utilizar ampliamente en informática, por ejemplo para indicar direcciones de memoria.

Ejemplos
Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Base 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 Base 3 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 111 112 120 121 Base 4 0 1 2 3 1011 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100 Base 8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 Base 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 Base 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

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Otro Ejemplo
1111111111112 tiene 12 dígitos 77778 tiene 4 dígitos FFF16 tiene 3 dígitos

Los sistemas octal y hexadecimal son útiles para representar números de muchos bits debido a que sus bases son potencias de...