Sistemas

Estándar IEEE 754
Precisión Simple en el Estándar IEEE 754
En precisión simple, para escribir un número real se usan 32 bits (4 bytes): 1 bit para el signo (s) del número, 23 bits para la mantisa (m) y 8 bits para el exponente (exp), que se distribuyen de la siguiente forma:

Figura - Representación de un número real con precisión simple en el estándar IEEE 754. El exponente se suelerepresentar en Exceso a 2n-1-1, mientras que, para la mantisa, normalmente se utiliza Signo Magnitud. Además, la mantisa se suele normalizar colocando la coma decimal a la derecha del bit más significativo. Ejemplo 1: Para escribir el número 101110,0101011101000011111000011111000100112 en el estándar IEEE 754 con precisión simple, exponente en Exceso a 2 n-1-1 y mantisa en Signo Magnitud, primero hay quenormalizarlo: 1,011100101011101000011111000011111000100112 x 25 El exponente, en Exceso a 2n-1-1, será: 510 + (28-1 - 1)10 = 510 + (27 - 1)10 = 510 + (128 - 1)10 = 13210 = 10000100EX. a 127 De la mantisa se cogen los bits 23 bits más significativos: 1,0111001010111000000111 El resto de bits no se pueden representar, ya que, no caben en la mantisa. Sin embargo, cuando la mantisa se normalizasituando la coma decimal a la derecha del bit más significativo, dicho bit siempre vale 1. Por tanto, se puede prescindir de él, y coger en su lugar un bit más de la mantisa. De esta forma, la precisión del número representado es mayor. Así, los bits de la mantisa serán: 01110010101110100001111 Al bit omitido se le llama bit implícito. Por otra parte, el bit de signo vale 0, ya que, el número espositivo. En consecuencia, el número se puede representar como:

Los programadores, para representar a los números reales en este formato, suelen utilizar el Sistema Hexadecimal.

Así pues,

En este caso, los números no son exactamente iguales, ya que, con precisión simple no se han podido representar todos los bits de la mantisa. Ejemplo 2: Dado el número 3E400000CFL del estándar IEEE 754 conprecisión simple, exponente en Exceso a 2n-1-1 y mantisa en Signo Magnitud con bit implícito, para averiguar a qué número representa en base 10, se pueden realizar los siguientes pasos: 1º) Convertir 3E40000016 a base 2:

2º) Obtener los bits del signo, de la mantisa y del exponente:

3º) Pasar el exponente a base 10: 011111002 - (28-1 - 1)10 = 12410 - (27 - 1)10 = 12410 - (128 - 1)10 = 12410 -12710 = -3 4º) Escribir el número en notación científica. Para ello, la mantisa se debe escribir con el bit implícito (1), seguido de la coma decimal (,) y de los bits de la mantisa (10000000000000000000000), teniendo en cuenta que los ceros por la derecha se pueden despreciar. Por otra parte, el número es positivo, ya que, el bit de signo es 0. Por tanto, el número es: 1,1 x 2-3 5º) Expresar elnúmero en base 10. Para ello, hay dos formas de hacerlo, la primera es: 1,1 x 2-3 = 0,00112 = ( 2-3 + 2-4 )10 = 0,12510 + 0,062510 = 0,187510 y la segunda: 1,1 x 2-3 = ( ( 20 + 2-1) x 2-3 )10 = ( ( 1 + 0,5) x 0,125 )10 = ( 1,5 x 0,125 )10 = 0,187510

Por tanto, 3E400000CFL (PRECISIÓN SIMPLE) = 1,1 x 2-3 = 0,00112 = 0,187510

Precisión Doble en el Estándar IEEE 754
Por otro lado, en precisióndoble, para escribir un número real se emplean 64 bits (8 bytes): 1 bit para el signo (s) del número, 52 bits para la mantisa (m) y 11 bits para el exponente (exp).

Figura - Representación de un número real con precisión doble en el estándar IEEE 754. Ejemplo 3: Si se quiere escribir el número 19,562510 en el estándar IEEE 754 con precisión doble, exponente en Exceso a 2n-1-1 y mantisa en SignoMagnitud con bit implícito, los pasos a seguir son: 1º) Cambiar 19,562510 a base 2. Primero la parte entera:

y, a continuación, la parte fraccionaria:

De modo que, 19,562510 = 10011,10012 2º) Normalizar el número binario obtenido, colocando la coma decimal a la derecha del bit más significativo: 10011,10012 = 1,00111001 x 24 3º) Escribir el exponente en Exceso a 2n-1-1: 410 + (211-1 - 1)10...