Sistemes Numèrics

SISTEMES NUMÈRICS
- Sistema binari (base2) - Sistema octal (base 8)
- Sistema decimal (base 10) - Sistema Hexadecimal (base 16)
SISTEMA DECIMAL (base 10)
El sistema de numeració decimal (base decimal) és el sistema amb el que estem acostumants des de sempre (1,2,3...,8,9); és un sistema de numeració posicional. Això significa que un número ve donat per una cadena de dígits. Cada un estàafectat per un factor d’escala que depèn de la posició que ocupa el dígit dins de la cadena.
Per passar un número escrit en qualsevol base a decimal ho fem amb el polinomi següent:
N(10=An·Bn+An-1·Bn-1+...A2·B2+A1·B1+A0·B0
On,
n és la posició del dígit, An és el número de la posició n; B és la base en la que està el número.
SISTEMA BINARI (base 2)
És un sistema binari amb base B=2, aixòsignifica que només comptem amb 2 dígits: 0 i 1, anomenats bits (de binary dígit). Això és degut a que l’electricitat és l’únic que entén un ordinador i ho fa mitjançant una senyal elèctrica alta (es representa el valor 1) o amb una senyal elèctrica baixa (es representa el 0).
És un sistema posicional on la posició n (comptant des de la dreta i n=0) té el pes 2n
Amb n bits, es poden representar 2ncombinacions. Si, per exemple, tenim 8 bits = 28=256(10
28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

Això permet saber el nombre de bits n que es necessiten per representar N elements:
2n-1 < N <= 2n
(o també, n=1+|log2N| )
Exemple:
* Si volem representar 32 elements (N=32),
Provem si amb 5 bits en tenimprou: 25-1 < 32 <= 25 ; 16 < 32 <= 32
(ES COMPLEIX, per tant, en tindrem prou amb 5 bits )

* Si volem representar 40 elements (N=40),

25-1 < 40 <= 25 ; 16 < 40 <= 32
(No en tindrem prou amb 5 bits, en necessitarem com a mínim 6)

Exemple:
El número 10100101 (base 2, binàri) es pot traduir a base 10 (amb el polinomi) com:(1·27)+(0·26)+(1·25)+(0·24)+(0·23)+(1·22)+(0·21)+(1·20) = 165 (base 10, decimal)

Suma binaria
Es fa seguint el mateix mètode que per a les sumes en base 10; sumant per columnes des de la dreta. En sumar dos 1, com que no tenim el dígit 2, el resultat serà 0 i ens endurem un bit de ròssec (c=carry bit).
Si sumem a + b = s
a | b | c | S |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 |

SISTEMA HEXADECIMAL(BASE 16)
Va sorgir per a compactar la informació binària. S’utilitza un dígit hexadecimal per a representar una cadena de 4 dígits binaris, tenint en compte que amb 4 dígits binaris podem representar 16 números diferents.
No podem valer-nos només dels dígits de la base decimal, ja que només n’hi ha 10 i en necessitem 16; per això utilitzem lletres per a representar els 6 dígits que ens falten:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
De la mateixa manera que en la base 10, l’últim dígit és el 9, en la base 16, l’últim serà la F (que valdrà 15 en base decimal). Per tant, si sumem una unitat a F, obtindrem el número 10 (en base hexadecimal).
Exemple:
Hexadecimal Decimal
AF34 (base 16)= ...... (base 10) (A=10, F=15)
(10·163)+(15·162)+(3·161)+(4·160) = 44852 (base 10).
DECIMAL | BINARI(4 Bits) | HEXADECIMAL |
0 | 0000 | 0 |
1 | 0001 | 1 |
2 | 0010 | 2 |
3 | 0011 | 3 |
4 | 0100 | 4 |
5 | 0101 | 5 |
6 | 0110 | 6 |
7 | 0111 | 7 |
8 | 1000 | 8 |
9 | 1001 | 9 |
10 | 1010 | A |
11 | 1011 | B |
12 | 1100 | C |
13 | 1101 | D |
14 | 1110 | E |
15 | 1111 | F |

Binari Hexadecimal
És més fàcil indicar un número binari, mitjançant el seu corresponentnúmero en base hexadecimal. Compactem aquesta cadena d’informació binària en molts menys dígits.
El procés és; de dreta a esquerre de la cadena numèrica, es van agafant cadenes de 4 dígits binaris, i es transformen al corresponent dígit hexadecimal.
1010.0001.0101.0101
Si agafem la cadena de 4 dígits començant per la dreta (0101) tindrem que :
(0·8)+(1·4)+(0·2)+(1·1) = 5 (base 16)
En el...