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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

SOLUCION EVALUACION 1. ALGEBRA. 525147.
Problema 1. (23 puntos)
1
1.1) Dado elconjunto A = {z ∈ C : Re( z ) ≤ 1 }. Caracterice los elementos (x, y) de A
2
y pruebe que si z ∈ A entonces z ∈ A.
¯

1.2) Muestre que el polinomio p(x) = x3 − 4x − 2 no tiene ra´ racionales.
ıces1
1.3) Encuentre las ra´
ıces quintas de la unidad y las ra´
ıces quintas de z = − 2 −
sabiendo que w = cis(− 2π ) es una de sus ra´
ıces.
15

√
3
i
2

Soluci´n 1.1) (8 puntos) Para z ∈ Ase tiene que:
o
1
x
1
1
≤ ⇐⇒ x2 + y 2 ≥ 2x.
Re( ) ≤ ⇐⇒ 2
2
z
2
x +y
2
( 4 puntos)
esta expresi´n es equivalente con
o
(x − 1)2 + y 2 ≥ 1.
Los puntos exteriores de la circunferenciacentrada en (1, 0) y la circunferencia misma.
Ahora, z = (x, −y) ∈ A pues (x − 1)2 + (−y)2 ≥ 1.
¯
( 4 puntos)
Soluci´n 1.2).(7 puntos) Las posibles ra´
o
ıces racionales de p son: ±1 y ±2.Reemplazando en en el polinomio se ve que no son ra´
ıces.
(7
puntos)
Soluci´n 1.3). (8 puntos)Para encontrar las ra´ quintas de la unidad z = 1 · cis(0)
o
ıces
utilizamos la expresi´n
o
0 + 2kπ2kπ
) = cis(
), k = 0, 1, 2, 3, 4.
5
5
Luego, las ra´ quintas de la unidad son u0 = cis(0), u1 = cis( 2π ), u2 = cis( 4π ),
ıces
5
5
u3 = cis( 6π ) y u4 = cis( 8π ).
( 3 puntos)
5
5
√
unade las ra´ quintas de z = − 1 − 23 i, se
ıces
Ahora, sabiendo que w = cis(− 2π ) es √
15
2
tiene que las ra´ quintas de z = − 1 − 23 i son:
ıces
2
uk = cis(

wu0 = cis(−

4π
10π
16π22π
2π
), wu1 = cis( ), wu2 = cis(
), wu3 = cis(
), wu4 = cis(
).
15
15
15
15
15
( 5 puntos)
1

Problema 2. (23 puntos) Dado el polinomio con coeficientes reales
p(x) = x4 − x3 + 7x2 − 9x− 18.
2.1) Determine α, ∈ R+ , tal que z = αi sea una ra´ de p.
ız
2.2) Encuentre todas las ra´
ıces de p y escribalo como producto de polinomios irreductibles en P (R) y en P (C).
2.3)...