sociologo

Sistemas de ecuaciones lineales homogeneas
Objetivos. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales homogeneas (son aquellas ecuaciones
lineales que tienen constantes iguales a cero). Mostrar que la solucion general de estos
sistemas se puede escribir como una combinacion lineal de n r vectores, donde n es el
numero de las incognitas y r es el numero de los renglones no nulos en la formaescalonada.
Requisitos. Eliminacion de Gauss-Jordan, matrices escalonadas reducidas, o pseudoescalonadas reducidas, construccion de la solucion general de un sistema de ecuaciones
lineales.
Aplicaciones. Nucleo de una transformacion lineal.
1. Denicion (sistema de ecuaciones lineales homogeneas). Un sistema de ecuaciones lineales homogeneas es un sistema de la forma Ax = 0, esto es,con columna de
constantes nula.
2. Observacion. Todo sistema de ecuaciones lineales homogeneas es compatible, porque
el vector cero es una de sus soluciones, llamada solucion trivial. Para un sistema de
ecuaciones lineales hay dos casos posibles:
(a) puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solucion (la trivial);
(b) puede ser compatible indeterminado, esto es, tenerpor lo menos una solucion no
trivial.
En cada ejemplo hay que determinar cual situacion tiene caso y describir el conjunto de
todas las soluciones.
3. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogeneas:
8
<
:
3x
1 2x
2 + x
3
+ 4x
4
= 0;
8x
1 5x
2 4x
3 + x
4
= 0;
2x
1 + x
2
+ 6x
3
+ 7x
4
= 0:
:
Solucion. La columna de constantes esnula y sigue siendo nula al aplicar operaciones
elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suciente trabajar
con la matriz de coecientes.
2
4
3 2 1 4
8 5 4 1
2 1 6 7
3
5
R1
=
1
3
!
2
4
1 2=3 1=3 4=3
8 5 4 1
2 1 6 7
3
5
R2 += 8R1
R3
+= 2R1
!
2
4
1 2=3 1=3 4=3
0 1=3 20=3 29=3
0 1=3 20=3 29=3
3
5
R2
= 3
!
2
41 2=3 1=3 4=3
0 1 20 29
0 1=3 20=3 29=3
3
5
R1 +=
2
3
R2
R3 +=
1
3
R2
!
2
4
1 0 13 18
0 1 20 29
0 0 0 0
3
5
:
Sistemas de ecuaciones lineales homogeneas, pagina 1 de 4
Por ser un sistema de ecuaciones lineales homogeneas, el sistema es compatible. Como
r = 2 y n = 4, es compatible indeterminado. Tenemos n r = 2 variables libres. Los
pivotes estan en lascolumnas 1 y 2, por eso expresamos x
1
y x
2
a traves de las variables
x
3
y x
4
:

x
1
= 13x
3
+ 18x
4
;
x
2
= 20x
3
+ 29x
4
:
Solucion general:
x =
2
6
6
4
13x
3
+ 18x
4
20x
3
+ 29x
4
x
3
x
4
3
7
7
5
; x
3
; x
4 2 R:
Notemos que la solucion general se puede expandir en una combinacion lineal de dos
vectores constantes:
x = x
3
2
6
64
13
20
1
0
3
7
7
5
+ x
4
2
6
6
4
18
29
0
1
3
7
7
5
; x
3
; x
4 2 R:
Se dice que los vectores
u
1 =
2
6
6
4
13
20
1
0
3
7
7
5
; u
2 =
2
6
6
4
18
29
0
1
3
7
7
5
son soluciones basicas de este sistema de ecuaciones. Hay que hacer la comprabacion para
los vectores u
1
y u
2
. La hacemos en forma matricial:
2
4
3 2 1 4
8 5 4 1
2 16 7
3
5
2
6
6
4
13 18
20 29
1 0
0 1
3
7
7
5
=
2
4
39 40 + 1 + 0 54 58 + 0 + 4
104 100 4 + 0 144 145 + 0 + 1
26 + 20 + 6 + 0 36 + 29 + 0 + 7
3
5
=
2
4
0 0
0 0
0 0
3
5
: X
Sistemas de ecuaciones lineales homogeneas, pagina 2 de 4
4. Ejemplo.
8
<
:
2x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
= 0;
5x
1 + x
2 3x
3
= 0;
6x
1 x
2
+ 4x
3
= 0:
Solucion.
24
2 4 5
5 1 3
6 1 4
3
5
R1$R2
!
2
4
5 1 3
2 4 5
6 1 4
3
5
R1
+= 2R2
!
2
4
1 9 7
2 4 5
6 1 4
3
5
R2
+= 2R1
R3 += 6R1
!
2
4
1 9 7
0 22 19
0 55 38
3
5
R3
= 2
!
2
4
1 9 7
0 22 19
0 110 76
3
5
R3
+= 5R2
!
2
4
1 9 7
0 22 19
0 0 19
3
5
:
Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el numero de los renglones...