Solemne uah 2008 calculo

Universidad Alberto Hurtado Ingeniería Comercial

Cálculo 1 - Pauta Solemne 1

Profesor: Marcelo Leseigneur Auxiliares: Renzo Lüttges y Javier Orrego Fecha: 24 de Abril de 2009

1.

Problema 1

(a) Resolver las siguientes ecuaciones: i |x − 1||x2 + x + 1| = 0 Del enunciado se tiene que la ecuación se cumple cuando |x − 1| = 0 o bien |x2 + x + 1| = 0. Puesto que |a| = 0 ⇒ a = 0, se pidex − 1 = 0 o bien x2 + x + 1 = 0. El primer caso es equivalente a tener x = 1, en tanto el segundo caso es una ecuación cuadrática en x, cuyo discriminante es negativo b2 − 4ac = 12 − 4 · 1 · 1 = −3, y por lo tanto no existen valores de x que la cumplan. Luego la ecuación planteada al comienzo sólo se cumple para x = 1. ii |x − 1| = |x − 4|
Solución: Solución:

Se trata de encontrar un númeroque se encuentre a la misma distancia del 1 que del 4. Basta un poco 5 1+4 de sentido común para ver que este número es el punto medio entre ambos, esto es: x = =
2 2

(b) Hallar el supremo e ínmo de los siguientes conjuntos: i { + (−1)n | n ∈ N}
Solución:

1 n

Primero se debe notar que el conjunto es acotado superior e inferiormente por los valores 3/2 y −1. Para esto basta con un dibujo.Además es distinto de vacío, pues por ejemplo el cero pertenece al conjunto (tomar n = 1). Puesto que ningún elemento del conjunto excede el valor 3/2, siendo éste un valor que pertenece al conjunto y que se alcanza con n = 2, se tiene que 3/2 es el máximo del conjunto y por ende su supremo. 1 Para encontrar el ínmo basta ver que para valores impares de n la expresión +(−1)n se parece cada n vezmás al valor −1, siendo siempre levemente mayor. Por inspección entonces es posible plantear que el ínmo es −1. ii {x ∈ R | x2 + x − 1 < 0} En una parábola con sus ramas hacia arriba, buscamos los valores de x donde es menor que cero. Sabemos que estos serán todos los puntos que se encuentren entre sus raíces. Las raíces de la parábola 1
Solución:

√ √ −1 − 5 −1 + 5 en cuestión son: x = yx=. Luego el conjunto pedido es el intervalo abierto 2 2 √ √ √ √ −1 + 5 −1 − 5 −1 − 5 −1 + 5 , cuyo supremo e ínmo son , y respectivamente. 2 2 2 2

iii {x ∈ R | x < 0 ∧ x2 + x − 1 ≤ 0}
Solución:

Notar que la parábola en este conjunto es la misma, salvo igualdad. Luego el conjunto pedido cor√ √ responde a la intersección de los conjuntos (−∞, 0) y intervalo [
−1 − 2 √ 5 −1 − 2 5 −1 + , 2 5, lo que corresponde al respectivamente.

, 0), cuyo supremo e ínmo son claramente 0 y

−1 − 2

√

5

(c) Usando las propiedades de orden de los reales, demuestre que
Solución:

x2 + x + 1 ≥ x, ∀x ∈ R 3

Usaremos la compatibilidad de ≥ con el producto de un número positivo, y multiplicaremos a ambos lados de la desigualdad por 3. Obtenemos x2 + x + 1 ≥ 3x. Luego utilizando lacompatibilidad de ≥ con la suma, sumamos a ambos lados el real (−3x), donde obtenemos x2 − 2x + 1 ≥ 0. Finalmente utilizamos la propiedad distributiva para factorizar el cuadrado de binomio, obteniendo (x − 1)2 ≥ 0, lo cual es verdadero pues cualquier real al cuadrado es mayor o igual a cero.

2.

Problema 2

(a) Usando sólo los axiomas de cuerpo de los reales, y los teoremas de unicidad deneutros e inversos, demuestre las siguientes propiedades (si necesita una propiedad adicional debe demostrarla): i −a = −b ⇒ a = b
Solución:

Partiendo de −a = −b:

−a = −b −a + (a + b) = −b + (a + b) (−a + a) + b = −b + (a + b) (−a + a) + b = −b + (b + a) (−a + a) + b = (−b + b) + a (0) + b = (0) + a b=a

/ + (a + b)
(asociatividad) (conmutatividad) (asociatividad) (suma de inversosaditivos) (suma con el neutro aditivo)

ii (a + b = 0) ∧ (ax + by = 0) ∧ (bx + ay = 0) ⇒ x + y = 0
Solución:

Sumando las últimas dos ecuaciones mostradas se tiene:

2

(ax + by) + (bx + ay) = 0 + 0 (ax + bx) + (ay + by) = 0 + 0 (ax + bx) + (ay + by) = 0 (a + b)x + (a + b)y = 0 (a + b)(x + y) = 0 (a + b)−1 [(a + b)(x + y)] = (a + b)−1 · 0 (a + b)−1 [(a + b)(x + y)] = 0 (a + b)−1 (a + b) (x +...