Prueba 1 Calculo Solemne 3

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas

ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032
2do Semestre, 2013
PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE
Viernes 29 de Noviembre de 2013
1. (a) Calcular elsiguiente l´ımite, utilizando alg´
un m´etodo visto en clases:
√
3

lim

x→0

1−x−1
√
1− 1−x

Sol:
Realizando un cambio de variable: u6 = 1 − x, se observa que si x → 0 → u → 1. Entonces:
√
3

limx→0

1−x−1
u2 − 1
(u − 1)(u + 1)
−2
√
= lim
= lim
=
3
2
u→1
u→1
1
−
u
(1
−
u)(1
+
u
+
u
3
1− 1−x
ax2 + 6x − 1
= 2.
x→1
2ax + 1

(b) Encuentre el valor de la constante a de modo que: lim
Sol:
Evaluandodirectamente:

ax2 + 6x − 1
a+6−1
=
= 2 ⇔ a + 5 = 4a + 2
x→1
2ax + 1
2a + 1
lim

⇒a=1
2. Encontrar la ecuaci´
on de la recta tangente a la curva x2 + 2xy 2 + 3y 4 = 6, en el punto (1, −1).
Sol:Derivando impl´ıcitamente:
2x + 2y 2 + 4xyy + 12y 3 y = 0
Evaluando en el punto (1, −1):
2 + 2 − 4y − 12y = 0 ⇒ y =

1
4

Por tanto, la ecuaci´
on de la recta tangente es:
y+1=

1
x 5
(x − 1) ⇔ y = −
4
4 43. Si y = e−x · cos x, verifique si:
y + y + y = e−x · sin x
Sol:
Observe que:
y = −e−x cos x − e−x sin x ; y = e−x cos x + e−x sin x + e−x sin x − e−x cos x = 2e−x sin x
Reemplazando en la ecuaci´on:
2e−x sin x − e−x cos x − e−x sin x + e−x cos x = e−x sin x
Por tanto, la funci´
on si satisface la ecuaci´
on.

4. En el sistema digestivo es normal encontrar la presencia de cierto tipo debacterias. Se estima que t horas despu´es
de la introducci´
on de una toxina, la poblaci´on de bacterias ( en miles ), viene dada por:
P (t) =

24t + 10
t2 + 1

¿A qu´e raz´
on cambia la cantidad de bacteriasen el organismo en el instante que han transcurrido 5 horas?.
Indique si se trata de un aumento o disminuci´on.
Sol:
La raz´
on de cambio viene dada por:
dP
24(t2 + 1) − (24t + 10) · 2t
=
dt
(t2 +1)2
Evaluando en t = 5:
dP
624 − 1300
= −1
=
dt
262
La poblaci´
on disminuye a raz´
on de 1.000 bacterias/hora.
5. Con respecto al contexto y a la funci´
on del problema 4, calcule el instante en...