Solidos En Revolucion, Metodo Del Anillo Y Metodo Arandela Con Ejemplos

Trabajo de cálculo integral



Introducción

Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física.

Le daremos un enfoque histórico y veremos algunos ejemplos que surgieron hace más de 2.000 años, cuando los griegos inventaron el métodode exhaución para calcular áreas de figuras planas. Veremos la relación que hay entre el área y la integral definida y la regla de
Barrow, conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Calcularemos también volúmenes de revolución, además de áreas, por medio de integrales definidas.

Nos parece interesante, antes de definir la integral de una función cualquiera, estudiar laintegral de funciones escalonadas, por dos razones: primera, y siguiendo nuestro principio de dar los conceptos de forma gradual según su nivel de dificultad, que son más intuitivas y fáciles, y todas las propiedades de estas integrales son las mismas que las de las integrales de funciones generales; y segunda, porque la definición que daremos de integral de una función general, será a partir deestas funciones. Las funciones escalonadas hacen de nexo entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función.

Volumen de un solido en revolución

Físicamente, los sólidos de revolución se refieren a todos aquellos objetos que son intersectados y se componen de una sección circular.
Con el fin de entenderlos matemáticamente, sea f(x) una curva y sea esta rotada 360grados alrededor del eje x entre el intervalo x = a y x = b.
En la rotación, la curva representa un sólido y este sólido se denomina sólido de revolución.
El cálculo del volumen de sólidos de revolución es una de las importantes aplicaciones de las integrales.
El método integral del cálculo de volúmenes de sólidos de revolución se conoce comúnmente como Integración de Disco.
El disco estáusualmente integrado a lo largo de un eje particular dado.
Hay tres casos principales que surgen mientras tratamos con los problemas de encontrar los volúmenes:

1). Cuando la función rotativa es función del eje x.
2). Cuando la función rotativa es función del eje y.
3). Método de Arandelas

Los primeros dos métodos se conocen también como métodos delos anillos para encontrar el volumen de sólidosde revolución.
Cuando la función rotativa es función del eje x: La integral de la forma es utilizada para calcular el volumen de la función y, en particular la función del eje x.

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje derevolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Método del disco

Un volumen de revolución se genera cuando una sección rota alrededor de un eje.
Al graficar observamos una rodaja formada a una distancia x1 del origen. Paradistancias pequeñas (dx) de los planos perpendiculares la rodaja es prácticamente un disco de altura dx y radio f(x1). Rota la figura para observar el disco generado.
El volumen de este disco o cilindro de espesor pequeño (dx) es:

v1=πfx12dx
A mayor número de discos, el sólido se parece más al original. Es decir, cuando n tiende a un número muy grande el volumen de nuestro sólido será cercano a lasuma de todos los discos conformados:
v≈πi=1nfx12dx

Esta aproximación mejora si n tiende a infinito, lo cual nos regresa a la definición de integral; es decir,

v=πabfx12dx 

Los límites a y b son los extremos sobre el eje x de nuestro sólido de revolución.

Ejemplo:

Hallar el volumen generado por el área bajo la curva generada por el segmento de recta y=1+x3 , 0≤x≤12, que...