Solidrigid

Sòlid Rígid

Fonaments Físics de l’enginyeria

Ramon Herrero Simon Departament de Física i Enginyeria Nuclear Universitat Politècnica de Catalunya

FONAMENTS FÍSICS DE L’ENGINYERIA
TEMA

Sòlid Rígid

1. Cinemàtica del sòlid rígid: Moviment de traslació i de
rotació. Rodadura.

2. Moment angular: Definició del moment angular. L d una d’una
partícula, L d’un sistema de partícules iL d’un sòlid rígid. Moment d’inèrcia I.

3. Moments d inèrcia: Moment d inèrcia per sistemes discrets d’inèrcia: d’inèrcia
i continus. Teorema de Steiner. Teorema dels eixos perpendiculars. Radi de gir.

4. Dinàmica del sòlid rígid: Moment d una força respecte un d’una
punt. Braç de palanca. Moment de forces i acceleració angular. Conservació del moment angular. Estàtica del sòlid rígid.Bibliografia:
•P.A. Tipler, Física para l ciencia y la la l tecnología, Ed. Reverté. •R. A. Serway, Física, Ed. McGraw-Hill, Méjico. éji •M.Alonso, E.J.Finn Física , Ed. Addison Wesley.

5. Energia cinètica del sòlid rígid: Energia de rotació. e g a c èt ca de sò d g d: e g a o ac ó.
Energia cinètica total. Energia mecànica.

6. Objectes rodants: Sense relliscar. Relliscant.

Concepte desòlid rígid
• Un sòlid rígid és un sistema de partícules en el que la distància entre dues partícules qualsevol del sistema es manté invariant en el temps.

z

rij rj ri
j
y

r r r ri − rj = rij = const

k i x

Cinemàtica del sòlid rígid
• El moviment d’un sòlid rígid es pot descomposar en dos tipus de moviment: Moviment de traslació i moviment de rotació.

•Moviment de traslació: Usòlid rígid realitza una traslació quan tot vector M i t d t l ió Un òlid í id lit t l ió t t t
rij entre dos punts del sòlid es manté constant.

rij rij

r r ri − rj = const ⇒

r r d (ri − rj ) dt

r r = 0 ⇒ vi = v j
rij

rij

rij

•Totes les partícules tenen la mateixa velocitat

•Moviment de rotació: Totes les partícules del sòlid rígid descriuen una trajectòria p g j
circularentorn del mateix eix

c
c

L’eix pot passar pel cos o per fora d’aquest

Rigidesa: Totes les partícules del sòlid tenen la mateixa velocitat angular ω. S’anomena velocitat angular del sòlid rígid rígid.

ω d vP o r o

ω d vP r

El punt P es mou respecte el punt O amb una velocitat: t b l it t

r r r vPO = ω × r
vPO = ω d

Per tant l P t t el punt P es mourà amb una velocitattotal suma del moviment de traslació i el t à b l it t t t l d l i t d t l ió l moviment de rotació: r r r r

v = vO + ω × r

•Rodament: Relació entre el moviment de traslació i rotació.
•Quan el sòlid roda sense relliscar:
Punt de contacte: v=0 Rotació instantània del sòlid respecte el punt de contacte
ω ωd d

2ωR

v=ωR v=0

v =ω R

Moment angular
•Definició del moment angulard’una partícula:
r r r L=r×p r r r L = m( r × v )
Està referit a un punt de l’espai p p

No necessariament paral·lel al vector velocitat angular ω
r r r r L = r × p = mvr sin φ k

•Definició del moment angular d’un sistema de partícules
És la suma del moment angular de cada partícula

r r r r r L = ∑ ri × pi = ∑ mi ri × vi
i i

•Definició del moment angular d un sòlid rígid Definició d’unrígid.
•Sòlid pla en x-y rotant entorn l’eix z

ω
z

r r r r r L = ∑ ri × pi = ∑ mi ri × vi
i i

L
k i x

r ^ v i en el pla x-y: x y:

r r r r 2 L = ∑ mi ri vi k = ∑ mi ri ω k = ∑ mi ri 2ω
i i i

ri vi
j

y

•Moment d’inèrcia I:
•Propietat del sòlid que depèn de la seva massa i geometria •Referit a un eix del sòlid (eix z).

I = ∑ mi ri
i

2

r r L = Iω

•Momentangular d’un sòlid rígid rotant entorn un eix fix.

ω
•Rotació entorn l’eix z:

z

r r r L = ∑ mi ri × vi
i

vi L
x i

k j
y

Component de L en la direcció de l’eix de rotació (eix z): C d l di ió d l’ i d ió ( i )

r r r r r⎤ r r r r ⎡ Lz = L ⋅ k = ∑ mi ri × vi ⋅ k = ⎢∑ mi Ri + hi × vi ⎥ ⋅ k = ∑ mi Ri vi i i ⎦ ⎣ i
I donat que

(

)

vi = ω Ri

Lz = ∑ mi R i2ω
i...