solidworks

11

LÍMITES DE FUNCIÓNS.
CONTINUIDADE
E RAMAS INFINITAS

Páxina 273
REFLEXIONA E RESOLVE
Aproximacións sucesivas
■

Comproba que:
f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

■

Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

■

Á vista dos resultados anteriores, paréceche razoable afirmar que, cando
x se aproxima a 5, o valor de f (x) se aproxima a 7? Expresámolo así:
límf (x) = 7
x85

Si f (x) =

x 2 + 4x – 45
, entonces:
2x – 10

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995
lím f (x) = 7

x85

■

x 2 + 6x – 27
Calcula, analogamente, lím
.
2x – 6
x83
f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995
lím f (x) = 6

x83

Páxina 275
1. Cada unha das seguintes funcións ten un ou máispuntos onde non é continua. Indica cales son eses puntos e o tipo de descontinuidade que presenta:
a) y =

x+2
x–3

2
b) y = x – 3x
x

2
c) y = x – 3
x

° 3 si x ? 4
d) y = ¢
£ 1 si x = 4

a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 4.
Unidade 11.Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas

1

2. Explica por que son continuas as seguintes funcións e determina o intervalo
no que están definidas:
a) y = x 2 – 5

b) y = √ 5 – x

° 3x – 4, x < 3
c) y = ¢
£ x + 2, x Ó 3

° x, 0 Ì x < 2
d) y = ¢
£ 2, 2 Ì x < 5

a) Está definida y es continua en todo

Á.

b) Está definida y es continua en (–@, 5].
Las funciones dadasmediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos)
son continuas donde están definidas.
c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en
que se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3:
3·3–4=9–4=5

3+2=5

Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también continua en x = 3.
d) También las dos ramas empalmanen el punto (2, 2). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).

Páxina 278
1. Calcula o valor dos seguintes límites:
3
a) lím
b) lím (cos x – 1)
x
–2
x80
x80
a) –

3
2

b) 0

2. Calcula estes límites:
a) lím √ x 2 – 3x + 5

b) lím log10 x

x82

x 8 0,1

a) √ 3

b) –1

Páxina 279
3. Calcula k para que a función y = f (x) sexacontinua en Á:
° x 3 – 2x + k, x ? 3
f (x) = ¢
x=3
£ 7,
lím (x 3 – 2x + k) = 21 + k °§
¢
§
£
f (3) = 7
x83

2

21 + k = 7 8 k = –14

Unidade 11. Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas

UNIDADE 11

Páxina 281
4. Calcula os límites das funcións seguintes nos puntos que se indican. Onde
conveña, especifica o valor do límite á esquerda e á dereita do punto.Representa graficamente os resultados:
a) f (x) =

x3
en –2, 0 e 2
x2 – 4

b) f (x) = 4x – 12 en 2, 0 e 3
(x – 2)2

c) f (x) =

x 2 – 2x + 1
en 1 e –3
x 2 + 2x – 3

d) f (x) =

a) f (x) =

x3
(x + 2) (x – 2)

+

f (x) = +@

x 8 –2

No existe

°
§
¢
§
£

lím

f (x) = –@

°
§
¢
§
£

lím

x 8 –2–

No existe lím f (x).

lím

x3

x4
en 0 e –3
+ 3x 2f (x).

x 8 –2

–2

2

3

2

3

lím f (x) = 0

x80

lím

x 8 2–

f (x) = –@

lím + f (x) = +@

x82

x82

b) f (x) = 4 (x – 3)
(x – 2)2
lím f (x) = –@

x82

lím f (x) = –3

x80

lím f (x) = 0

–3

x83

c) f (x) =

(x – 1)2
(x – 1) (x + 3)

lím f (x) = 0

x81

lím

x8

–3+

f (x) = +@
f (x) = –@

°
§
¢
§
£

lím

x 8 –3–

Noexiste

lím

f (x).

x 8 –3

Unidade 11. Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas

–3

1

3

x4
x 2 (x + 3)

d) f (x) =

lím f (x) = 0

x80

x 8 –3

lím

–

x 8 –3+

f (x) = –@
f (x) = +@

–3

°
§
¢
§
£

lím

No existe

lím

f (x).

x 8 –3

Páxina 282
1. Di o valor do límite cando x 8 + @ das seguintes funcións:

y = f2(x)
y =...