Solucion De La Ecuacion De Laplace En Coordenadas Esfericas

Solución de la ecuación de laplace en coordenadas esféricas. El laplaciano en coordenadas esféricas actuando sobre un campo escalar está definido como:
 2V r , ,   1   2 V r r 2 r  r 1   V  1  2V   2 sen  2 2      r sen   2  r sen  
(1)

Si el laplaciano es igual a cero entonces recibe el nombre de la ecuación de laplace

2V r , ,   0
1   2 V rr 2 r  r 1   V   2  sen   r sen   1  2V   2 2 0  2  r sen  

(2)

(3)

Para resolver la ecuación de laplace aplicamos el método de separación de variables.

V r , ,   R r   
Realizando las respectivas derivadas a la ecuación (4).

(4)

V dR   r dr V d  R  d

(5)

(6)

 2V d 2  R  2 d 2
Remplazando las ecuaciones (5),(6) y (7) en la ecuación (3) se obtiene lo siguiente.

(7)

1   2 dR  1   d  1 d 2 r   2 sen R  2 2 R 0     r 2 r  dr  r sen   d  r sen  d 2
Multiplicando por r 2 sen2 .

(8)

sen 2   

  2 dR   r    R  r  dr  

d  d 2  sen   R  2  0   d  d 

Dividiendo entre R .

sen 2

1   2 dR  1  r  R r  dr  

d   1 d 2  sen 0   d   d 2 

1

sen 2

1   2 dR  1  r  R r  dr   

d  1 d 2  sen    d   d 2 
(9)

 1 d  2 dR  1 d  d   1 d 2 r  sen sen2     R dr  dr  sen d  d   d 2     
debe ser igual a una constante que llamaremos  2

Como cada miembro de la ecuación (9) es independiente para que esto se cumpla esto 1 d  2 dR  1 d  d   1 d 2 r  sen sen2    2   R dr  dr  sen d  2 d    d    
Por la parte derecha de la ecuación (10) se obtiene que:

(10)



1 d 2  2  d 2
(11)

d 2   2  0 d 2
Análogamente para la parte izquierda se obtiene:

 1 d  2 dR  1 d  d   2 2  R dr  r dr   sen d  sen d  sen        
1 d  2 dR  1 d  d 2 r   sen  R dr  dr  sen d  d  sen 2

1 d  2 dR  2 1 d  d  r      sen  2 R dr  dr  sen  sen d  d 

(12)

Nueva mente como en la ecuación (12) cada miembro es independiente esto se cumple si es igual a una contante que por conveniencia denotaremos como l  l  1 .

1 d  2 dR  2 1 d  d   r   sen   l  l  1 2 R dr  dr  sen  sen d d 
De un lado de la ecuación (13) se obtiene.

(13)

1 d  2 dR  r   l  l  1 R dr  dr 

2

d  2 dR  r   l  l  1 R  0 dr  dr 

r2

d 2R dR  2r  l  l  1 R  0 2 dr dr

(14)

Y por el otro lado de la ecuación (13) se obtiene:

2
sen 
2



1 d  d   sen   l  l  1 sen d  d 



1 d  d  2 sen  l  l  1    sen d  d sen 2

 1 d  d  2  sen   l  l  1     sen d  d  sen 2   
1 d  d   2  0  sen   l  l  1  sen d  d   sen 2   
Resolviendo las ecuaciones (11), (14) y (15). La ecuación (11), representa la ecuación de un movimiento armónico simple la cual está dada por: (15)

d 2   2  0 2 d
Donde la solución de esta ecuación es:

   Aei Bei
La ecuación (14) es una ecuación de Cauchy – Euler.

(16)

r2

d 2R dR  2r  l  l  1 R  0 2 dr dr

Suponemos una solución de la forma R  r n , realizando las derivadas.

dR  nr n 1 dr

;

d 2R  n  n  1 r n  2 dr 2

Reemplazando las derivadas en (14).

r 2  n  n  1 r n2   2r  nr n1   l  l  1 r n  0
3

n  n 1 r n  2nr n  l l  1 r n  0n  n 1  2n  l l  1  0

n  n  1  l l  1
n  n  1  l l  1  0
Se obtienen dos valores para n  l  n    l  1 ,entonces la solución de la ecuación es:

R r   Cr l  Dr

 l 1

(17)

Resolviendo la ecuación (15).

1 d  d   2  0  sen   l  l  1  sen d  d   sen 2   

1  d 2 d   2  sen  cos   l  l  1   ...