Solucion De Sistemas 2*2

4.6.1 Método de reducción o de suma y resta.

El gerente de un cine conoce que se vendieron 900 boletos entre martes y miércoles. Los boletos del martes se vendieron a $ 30.00 cada uno y los del miércoles a $ 20.00. ¿Cuántos boletos se vendieron cada día, si en la caja hay $ 23 000.00?
Solución
Se representa el número de boletos vendidos el martes por x y el número de boletos vendidos elmiércoles por y. Como se vendieron 900 boletos, se tiene:
x + y = 900
Si se multiplica el precio de los boletos por el número de boletos vendidos, se obtiene el dinero contado, es decir:
30x + 20y = 23 000
Así, se tiene que el sistema de ecuaciones lineales que representa al problema es:
x + y = 900
30x + 20y = 23 000
Si la primer ecuación se multiplica por (- 20) se tendría una ecuaciónequivalente y en consecuencia un sistema equivalente:

-20x – 20y = - 18 000
30x + 20y = 23 000
La idea de multiplicar por un factor una de las ecuaciones es que permite reducir a una ecuación en términos de una sola variable, al sumar las ecuaciones se tiene:
10x = 5 000
De donde se puede obtener que:
x = 5 000/10 = 500
Pero, como x + y = 900 se obtendrá:
y = 900 – x = 900 – 500 = 400
Así,se obtiene que se vendieron 500 boletos de $30.00 y 400 boletos de $ 20.00; es decir, x = 500 e y = 400.

Al sustituir los valores de x e y en las ecuaciones iniciales se puede comprobar si la solución es correcta.
x + y = 900 500 + 400 = 900
30x + 20y = 23 000 30(500) + 20(400) = 15 000 + 8 000 = 23 000.

Como las ecuaciones se cumplen se puede señalar que el resultado escorrecto.

Para conocer el método de solución que se ha empleado, se presenta otro problema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo No. 5
Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
5x + 2y = 23
2x + 7y = 34

Solución

Como se desea eliminar la x, se debe multiplicar por 2 la primer ecuación, pero también se necesita multiplicar por (-5) la segunda:
2(5x + 2y = 23)-5(2x + 7y = 34)
Al realizar la operación se obtiene:
10x + 4y = 46
-10x – 35y = -170
Al sumar las ecuaciones se obtiene:
-31y = -124
Por lo que:
y = -124/-31 = 4
Al sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en la primera:
5x + 2y = 23
5x + 2(4) = 23
5x + 8 = 23
5x = 23 – 8
x = 15/5 = 3
De esta forma, se obtiene que la solución del sistema deecuaciones es:
x = 3 e y = 4
Para comprobar que el resultado es correcto se sustituyen ambos valores en las ecuaciones iniciales:
5x + 2y = 23 2x + 7y = 34
5(3) + 2(4) = 23 2(3) + 7(4) = 34
15 + 8 = 23 6 + 28 = 34

El método de solución que se empleo para resolver los dos problemas anteriores se conoce como el método de reducción que se puede resumir de la siguiente forma:
* Multiplicaruna o ambas ecuaciones por constantes de tal forma que el coeficiente de una de las variables se pueda eliminar con él de la otra ecuación.
* Sumar los miembros correspondientes de las ecuaciones y obtener una sola con una variable.
* Resolver esta ecuación y el valor encontrado sustituirlo en cualquiera de la ecuaciones del sistema y obtener el valor de la otra variable.

En la sección4.4 se analizó un sistema de ecuaciones que se clasificó como inconsistente, debido a que no existía solución al sistema. Tal sistema era:
x – y = 6
y – x = 3
Al tratar de resolver este sistema por el método algebraico de reducción que se acaba de analizar se obtendría lo siguiente:
x – y = 6
-x + y = 3
Al sumar las ecuaciones término a término, se obtiene que: 0 = 9. Este resultado es unacontradicción e indica que no existe una pareja de números (x, y) que satisfagan simultáneamente a las dos ecuaciones.

Ejercicios 4.4.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción:
1.- 2x + y = 3 2.- 3x – 2y = - 17 3.- x + y = 16
3x + 2y = - 17 x + 2y = 5 x – y = 10

4.- 3x + 2y = 0 5.- x + y = 2
4x + y = 5...