Solucion Ejercicio 1

Solución ejercicio 1 (hoja de prácticas 1)
Iv

h

Ip

Ip

l = 3h
2

8

2

m = 2 KNs /m en forjado, E = 2.1·10 KN/m , Ip = 350 cm4, h = 3 m.
Calcular la rigidez al movimiento lateral de la estructuray la frecuencia natural de vibración en los
siguientes casos:
— La viga y el forjado son un sistema rígido: EIv → ∞
— La viga y el forjado no tienen rigidez: EIv → 0
— Iv = 500 cm4

9 Viga y forjadorígidos
K = 24EIp/h3 = 653.33 KN/m

⎧Tn = 2π / ωn = 0.35 s
k
653.33 KN / m
=
= 18.07 rad / s → ⎨
2
m
2 KNs / m
⎩ f n = 1/ Tn = 2.88 Hz

ωn =

Ecuación del movimiento en vibración libre no amortiguada :mu&& +

24 EI p
h3

u=0

9 Viga y forjado sin rígidez a flexión

K = 6EIp/h3 = 163.33 KN/m

ωn =

⎧Tn = 0.69 s
k
= 9.04 rad / s → ⎨
m
⎩ f n = 1/ Tn = 1.44 Hz

9 Viga y forjado con rígidez Iv = 500cm4

Se consideran 3 grados de libertad GDL: u1, u2, u3

u1
Iv

u3

F

u2
Ip

Ip

Ku = F

⎡ k11 k12
⎢k
k
⎢ 21 22
⎢⎣ k31 k32

k13 ⎤ ⎧u1 ⎫ ⎧ f1 ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
k23 ⎥ ⎨u2 ⎬ = ⎨0 ⎬
⎥
k33 ⎥⎦ ⎪⎩u3 ⎪⎭ ⎪⎩0 ⎪⎭

Apartir de un proceso de condensación estática se obtiene la relación F = k u1.
Para calcular los términos de la matriz de rígidez se resuelven tres casos de carga básicos,
con desplazamientos impuestosunitarios y nulos.

•

Caso 1
u1= 1
K21

K31

K11

⎧u1 ⎫ ⎧1 ⎫
⎧ k11 ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨u2 ⎬ = ⎨0 ⎬ ⇒ F = ⎨ k21 ⎬
⎪u ⎪ ⎪0 ⎪
⎪k ⎪
⎩ 3⎭ ⎩ ⎭
⎩ 31 ⎭

Los términos coinciden con los calculados en el apartado 1:
⎧24 EI p ⎫
⎪ h3 ⎪
24 EI p
⎧
k
⎪
⎪
⎧
⎫
=
=
k
2
F
u
11
1
1
⎪⎪ 11
⎪ ⎪ ⎪ 6 EI p ⎪
h3
⇒ ⎨ k21 ⎬ = ⎨ 2 ⎬
⎨
⎪ k = k = F1h = 12 EI p h = 6 EI p
⎪k ⎪ ⎪ h
⎪
21
31
⎩
31 ⎭
3
2
6
EI
⎪⎩
⎪
2
h 2
h
p ⎪
⎪ h2 ⎪
⎩
⎭

•Caso 2
K22

u2= 1

⎧u1 ⎫ ⎧0 ⎫
⎧ k12 ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨u2 ⎬ = ⎨1 ⎬ ⇒ F = ⎨ k22 ⎬
⎪u ⎪ ⎪0 ⎪
⎪k ⎪
⎩ 3⎭ ⎩ ⎭
⎩ 32 ⎭

K12

Soluciones básicas:
1

4EI/L
6EI/L2
I, L
2EI/L

1

I, L

6EI/L2

6EI/L2

6 EI p
⎧
⎪k12 = h 2
⎪
4 EI p 4 EI v
⎪
+
⎨ k22 =
h
3h
⎪
2 EI v
⎪
⎪ k32 = 3h
⎩

Caso 3

Simétrico del caso 2

6EI/L2
12EI/L3

12EI/L3

Los términos coinciden con los calculados en el apartado 1:

•

K32

6 EI...