Solucionario, metalurgia fisica
Páginas: 11 (2536 palabras)
Publicado: 19 de enero de 2011
Problema 2.1
Encontrar los esfuerzos principales y sus orientaciones respecto al eje xy para las siguientes situaciones:
a) σx = 50 000 psi
σy = 5 000 psi
τxy = - 8 000 psi
b) σx = -60 000 psi
σy = 5 000 psi
τxy = 25 000 psi
[pic]
Los esfuerzos principales actúan sobre el plano en donde el esfuerzo de corte es cero. Se denotan como σ1 y σ2 parael caso de esfuerzos sobre un plano, como es el caso. Es necesario encontrar un nuevo eje de coordenadas denotado como 1 y 2 a partir de X e Y para lo cual, se requiere girar los ejes xy un determinado ángulo θ. Entonces es posible encontrar valores de σ1 y σ2 en este nuevo sistema de coordenadas en donde los valores de esfuerzo de corte es cero además de sus orientaciones.
Lasecuaciones para encontrar los esfuerzos principales son:
[pic]
[pic]
Para ecuación para determinar la ecuación es:
[pic]
Sustituyendo los valores obtenemos:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Los esfuerzos principales son σ1= 51 379.9 psi y σ2= 3 620.0922 psi los cuales son girados -9.7865° con respecto al eje x e yrespectivamente en sentido de las manecillas del reloj.
[pic]
Para el inciso b, se determinan los esfuerzos principales y el ángulo de la misma forma, encontrándose los resultados siguientes:
[pic]
[pic]
Problema 2.2
Construir el círculo de Mohr de esfuerzo para cada condición del problema 2.1
El círculo de Mohr representa gráficamente el estado deesfuerzos en un punto sobre un plano oblicuo. La ecuación que lo define es la siguiente:
[pic]
En donde:
[pic]
[pic]
[pic] Representa a los esfuerzos normales los cuales se grafican a lo largo del eje X, mientras que los esfuerzos de corte [pic] se grafican sobre el eje Y.
Para el inciso a se obtiene el círculo siguiente:
[pic]Para el inciso b se obtiene el siguiente círculo:
[pic]
Problema 2.3
Un estado de esfuerzos en tres dimensiones está dado por:
(x = +8 000 psi (xy = +2 000 psi
(y = - 4 000 psi (yz = +3 000 psi
(z = + 6 000 psi (xz = -5 000 psi
Determine:
a) El esfuerzo total (magnitud y dirección con los ejes x, y, z) sobre el plano descrito por loscosenos directores: l = [pic] , m = + ½, n = negativo.
b) Las magnitudes de los esfuerzos normal y de corte en éste plano.
c) Los esfuerzos principales y cosenos directores de los planos principales.
d) El esfuerzo de corte máximo.
Respuestas:
a)
El esfuerzo total está dado por la ecuación:
[pic] (2-1)
Tomando la suma de fuerzas en las direcciones x, y, z. Se obtienen lasexpresiones para las componentes ortogonales del esfuerzo total de la ecuación anterior.
[pic]
Los cosenos directores deben cumplir la relación auxiliar siguiente: [pic], por lo que el valor de n es – ½.
[pic]
Sustituyendo valores en las ecuaciones para las componentes ortogonales del esfuerzo total, se obtiene:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
El esfuerzo total es de 10.65 ksi.
b)
Unavez encontrados los valores de las componentes ortogonales del esfuerzo total se pueden calcular las magnitudes de los esfuerzos normal y de corte mediante las ecuaciones siguientes:
[pic]…….esfuerzo normal sobre el plano (2-12)
[pic]
La magnitud del esfuerzo normal sobre el plano es de 7.949 ksi
[pic]…………..esfuerzo de corte sobre el plano (2-13)
[pic]
La magnitud del esfuerzo de cortesobre el plano es de 7.096 ksi
El esfuerzo de corte también se puede calcular en función de los esfuerzos principales de acuerdo a la ecuación:
[pic]
c)
Para determinar los esfuerzos principales, partimos de las expresiones para las componentes ortogonales del esfuerzo total dadas por:
[pic]
Las ecuaciones anteriores son homogéneas y lineales en términos de l, m y n. La única...
Encontrar los esfuerzos principales y sus orientaciones respecto al eje xy para las siguientes situaciones:
a) σx = 50 000 psi
σy = 5 000 psi
τxy = - 8 000 psi
b) σx = -60 000 psi
σy = 5 000 psi
τxy = 25 000 psi
[pic]
Los esfuerzos principales actúan sobre el plano en donde el esfuerzo de corte es cero. Se denotan como σ1 y σ2 parael caso de esfuerzos sobre un plano, como es el caso. Es necesario encontrar un nuevo eje de coordenadas denotado como 1 y 2 a partir de X e Y para lo cual, se requiere girar los ejes xy un determinado ángulo θ. Entonces es posible encontrar valores de σ1 y σ2 en este nuevo sistema de coordenadas en donde los valores de esfuerzo de corte es cero además de sus orientaciones.
Lasecuaciones para encontrar los esfuerzos principales son:
[pic]
[pic]
Para ecuación para determinar la ecuación es:
[pic]
Sustituyendo los valores obtenemos:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Los esfuerzos principales son σ1= 51 379.9 psi y σ2= 3 620.0922 psi los cuales son girados -9.7865° con respecto al eje x e yrespectivamente en sentido de las manecillas del reloj.
[pic]
Para el inciso b, se determinan los esfuerzos principales y el ángulo de la misma forma, encontrándose los resultados siguientes:
[pic]
[pic]
Problema 2.2
Construir el círculo de Mohr de esfuerzo para cada condición del problema 2.1
El círculo de Mohr representa gráficamente el estado deesfuerzos en un punto sobre un plano oblicuo. La ecuación que lo define es la siguiente:
[pic]
En donde:
[pic]
[pic]
[pic] Representa a los esfuerzos normales los cuales se grafican a lo largo del eje X, mientras que los esfuerzos de corte [pic] se grafican sobre el eje Y.
Para el inciso a se obtiene el círculo siguiente:
[pic]Para el inciso b se obtiene el siguiente círculo:
[pic]
Problema 2.3
Un estado de esfuerzos en tres dimensiones está dado por:
(x = +8 000 psi (xy = +2 000 psi
(y = - 4 000 psi (yz = +3 000 psi
(z = + 6 000 psi (xz = -5 000 psi
Determine:
a) El esfuerzo total (magnitud y dirección con los ejes x, y, z) sobre el plano descrito por loscosenos directores: l = [pic] , m = + ½, n = negativo.
b) Las magnitudes de los esfuerzos normal y de corte en éste plano.
c) Los esfuerzos principales y cosenos directores de los planos principales.
d) El esfuerzo de corte máximo.
Respuestas:
a)
El esfuerzo total está dado por la ecuación:
[pic] (2-1)
Tomando la suma de fuerzas en las direcciones x, y, z. Se obtienen lasexpresiones para las componentes ortogonales del esfuerzo total de la ecuación anterior.
[pic]
Los cosenos directores deben cumplir la relación auxiliar siguiente: [pic], por lo que el valor de n es – ½.
[pic]
Sustituyendo valores en las ecuaciones para las componentes ortogonales del esfuerzo total, se obtiene:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
El esfuerzo total es de 10.65 ksi.
b)
Unavez encontrados los valores de las componentes ortogonales del esfuerzo total se pueden calcular las magnitudes de los esfuerzos normal y de corte mediante las ecuaciones siguientes:
[pic]…….esfuerzo normal sobre el plano (2-12)
[pic]
La magnitud del esfuerzo normal sobre el plano es de 7.949 ksi
[pic]…………..esfuerzo de corte sobre el plano (2-13)
[pic]
La magnitud del esfuerzo de cortesobre el plano es de 7.096 ksi
El esfuerzo de corte también se puede calcular en función de los esfuerzos principales de acuerdo a la ecuación:
[pic]
c)
Para determinar los esfuerzos principales, partimos de las expresiones para las componentes ortogonales del esfuerzo total dadas por:
[pic]
Las ecuaciones anteriores son homogéneas y lineales en términos de l, m y n. La única...
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