solucionario

Solucionario

2

Determinantes
ACTIVIDADES INICIALES

2.I. Busca las relaciones de dependencia lineal entre las filas y columnas de las siguientes matrices e
indica el valor de su rango.


4
 −2
A=
 1 −2


−

1
2 
1

4

 0
B= 2
 −3


− 2 −4 
2
6

1 −1

1

4 − 
 −2
2  →  −2 4 − 1   rg(A) = 1
A=
1  F =− 1 F 
2 
 1 −2
 2 21

4
 0 −2 −4 
B= 2
2
6   Como C3 = 2C2 + C1  rg(B) = 2


1 −1
 −3

2.II. Comprueba que las siguientes matrices son inversas una de la otra.

 1 −1 0 0 
 0 − 1 1 0
A=

 0 0 − 1 1
 1 1 − 2 1

 0
− 1
B=
− 1
− 1

1
1
2
2

−1
−1
−1
0

1
1

1
1

Se deberían comprobar los dos productos AB = BA = I, aunque, en este casoespecial de producto de dos
matrices que dan como resultado la identidad, solo es necesario comprobar uno de ellos.
 1 −1 0 0   0 1 −1 1  1 0 0 0 
 0 −1 1 0   −1 1 −1 1  0 1 0 0 

=
 = I  A–1 =B y B–1=A
AB = 
 0 0 −1 1   −1 2 −1 1  0 0 1 0 
 1 1 −2 1   −1 2 0 1  0 0 0 1 


 


EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1. Calcula el valor de los siguientesdeterminantes.
−a

2

2

3a

a)

−2
1

b)

−3
2
−1 −4

d)

−2 1 3
4 1 1
1 0 −1

a)

−2
1

d)

−2 1 3
4 1 1 =4
1 0 −1

b)

−3
2
= 14
−1 −4

c)

3
2

3
= −7
2

−a

2

2

3a

a

c)

= −3a2 − 2a2 = −5a2

a

−3
e) −1
2

f)

−2
2
−1

−1
−4
−1

a
1 a
−1
a −1
a + 1 −1 a

−3 −2 −1
e) −1 2 −4 = 39
2 −1 −1
f)

a
1 a
−1
a−1 = a3 + a − a − 1 − a3 − a2 − a + a = −a2 − 1
a + 1 −1 a

30

Solucionario

2.2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
−1
=2
x

a)

3
2

b)

x
−1
= 11
x + 1 2x

c)

x 2
1 x
0 2

1
d) x
1

1
0 = 13
−1

−2
x −2
x −1
−1 = −7
1
−2

−1
= 2  3x + 2 = 2  x = 0
x

a)

3
2

b)

− 1 ± 1 + 80
− 1± 9
5
x
−1
2
2
=
 x = 2, x = −
= 11  2x + x +1 = 11  2x + x − 10 = 0  x =
x + 1 2x
4
4
2

x 2
c) 1 x
0 2

1
d) x
1

1
0 = 13  −x2 + 2 + 2 = 13  x2 = −9  No tiene solución.
−1

−2 x − 2
x − 1 −1 = −7  −2x + 2 + x2 − 2x + 2 − x2 + 3x − 2 + 1 − 4x = −7  −5x + 3 = −7  x = 2
1
−2

1 0
−1 2
2 2 −3 2
2.3. Dado el determinante
, comprueba que se obtiene el mismo valor al desarrollarlo por
2 −1
1 1
1 0 −2 3
loselementos de la tercera fila que al desarrollarlo por los elementos de la cuarta columna.
−1 2
1 0
2
2 2 −3 2
=2 2
2 −1
1 1
0
1 0 −2 3

1 0
1 0
−1
−1 2 0
−1 2
−3 2 + 2 −3 2 + 2 2 2 − 2 2
1 −2 3
1 0 3
1 0
−2 3

−1 2
1 0
1
−1 2
−1 2
2 2 −3 2
1 − 2 2
= 2 2 −1
2 −1
1 1
1 0 −2
1 0
1 0 −2 3

1
−3 = 2 ⋅ ( − 16) + 1 − 14 − 4 = −49
−2

1
1
−1 2
−3 + 3 2 2 −3 = 2 ⋅9 − 4 + 3( − 21) = −49
2 −1
1
−2

−1 3
3
0
−2 1
1 4
2.4. Calcula el valor del determinante
3 2 −3
0
1 1 −1 −5
creas más conveniente.

desarrollándolo por los elementos de la línea que

−1 3
3
0
3
3
−1 3
−1 3
−2 1
1 4
1 = 4 ⋅ 2 − 5( − 25) = 133
= 4 3 2 −3 − 5 −2 1
3 2 −3
0
1 1 −1
3 2 −3
1 1 −1 −5

Solucionario

31

Solucionario
2.5. Justifica, sindesarrollar, las siguientes igualdades.
−1 3
b) 3 −2
2 −6

2
a) 3
0

−1 8
5 −1 = 0
0
0

2
a) 3
0

−1 8
5 −1 = 0 , ya que tiene una fila con todos los elementos nulos.
0 0

b)

−1 3
3 −2
2 −6

a
c) b + c
2

2
5 =0
−4

a
c) b + c
2

b
a+c
2

1 −1 4
5
2
2
d)
0 −3 −2
1 4
3

c
a+b =0
2

3
−6
=0
9
−12

2
5 = 0 , ya que las filas primera y tercerason proporcionales: F3 = −2F1.
−4

b
a+c
2

c
a+b
2

=

F1 = F1 + F2

a+b+c
b+c
2

a+b+c
a+c
2

a+b+c
1
a + b = (a + b + c ) b + c
2
2

1
a+c
2

1
a+b =0,
2

ya que las filas primera y tercera son proporcionales: F3 = 2F1.

1 −1 4
3
1 −1 4
1
5
2
2
−6
5
2
2 −2
=3
= 0,
d)
0 −3 −2
9
0 −3 −2
3
1 4
3 −12
1 4
3 −4
ya que las columnas...