Solucionario

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MASSACHUSETTS Departamento de Ingeniería Eléctrica e Informática 6.003: Señales y sistemas—Otoño 2003 Prueba 2 Jueves 13 de noviembre de 2003 ____________________________________________________________

__________ Instrucciones: El examen consta de 5 problemas (paginas 2-19), y de un espacio en blanco para trabajar, paginas 20 y 21. Asegúrese de que no le falta ningunapagina. Al final de este cuadernillo, se facilitan las tablas de las propiedades de las series de Fourier, así como las propiedades y las tablas de las transformadas de Fourier de DT y CT. Escriba sus respuestas directamente en los espacios indicados en las páginas de este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en todas y cada una de las páginas. Puede utilizar cuadernos de examen para eltrabajo en borrador, pero no serán calificados. Todos los diagramas y dibujos deberán incluir las correspondientes leyendas. Si no se indica lo contrario, las respuestas deben obtenerse o explicarse, y no simplemente escribirse. Este es un examen a libro cerrado, aunque los estudiantes pueden utilizar dos hojas 8 1/2 × 11 como referencia. No deben utilizarse calculadoras. NOMBRE:_________SOLUCIONES_________________ Indique su sección Sección 1 2 3 4 5 6 7 Hora 10-11 11-12 1- 2 11-12 12- 1 12- 1 10-11 Profesor de la clase de repaso Prof. Zue Prof. Zue Prof. Gray Dr. Rohrs Prof. Voldman Prof. Gray Dr. Rohrs

8 11-12 Prof. Voldman ____________________________________________________________

________________ Le rogamos no escriba nada en esta hoja a partir de la línea, ya que el espacio estáreservado para uso de los examinadores:

1

PROBLEMA 1 (15%) Considere el siguiente sistema: Sistema global

La relación entrada-salida del SISTEMA A se caracteriza por la siguiente ecuación causal de diferencias de coeficiente lineal constante (LCCDE):

dz (t ) dx(t ) + 6 z (t ) = + 5 x(t ), dt dt y la respuesta a impulso hb(t) para el SISTEMA B se define de la forma siguiente:

hb (t) = e −10t u (t )
Apartado a. Cual es la respuesta de frecuencia del sistema completo? Es decir, dados Y ( jω ) . , determine H ( jω ) = X ( jω )

jω + 5
H ( jω ) =

( jω + 6)( jω + 10)

2

Otoño 2003: prueba 2
Página de trabajo del problema 1

NOMBRE: ______soluciones___________

a) Podemos hallar H a ( jω ) mediante examen o utilizando la ecuación 4.76 (O&W, pág.331):

H a (jω ) =

jω + 5 jω + 6

Podemos hallar H b ( jω ) utilizando los pares de transformadas de Fourier de CT, donde:

1 a + jω 1 hb (t ) = e −10t a (t ) ↔ H b ( jω ) = 10 + jω e − at u (t ), Re{a} > ↔

⇒ H ( jω ) = H a ( jω ) H b ( jω ) =

jω + 5 = H ( jω ) ( jω + 6)( jω + 10)

El problema 1 continua en la página siguiente. 3

Apartado b. ¿Cual es la respuesta a impulso, h(t) del sistemacompleto?

 1 −6t 5 −10t   − e + e  u (t ) 4  4 
h(t) =

Apartado c. Cual es la ecuación diferencial que relaciona x(t) e y(t) ?

d 2 y (t ) dy (t ) dx(t ) + 16 + 60 y (t ) = + 5 x(t ) 2 dt dt dt
______________________________________________

4

Otoño 2003: prueba 2
Página de trabajo del problema 1

NOMBRE: ______soluciones___________

b) H ( jω ) =

A B jω + 5 = + ( jω +6)( jω + 10) jω + 6 jω + 10
jω =−6

A = H ( jω )( jω + 6)
B = H ( jω )( jω + 10) → H ( jω ) =

=

−6 + 5 −1 =A = −6 + 10 4
=

_______

______
jω =−10

−10 + 5 −5 5 = = =B −10 + 6 −4 4

−1 4 54 + jω + 6 jω + 10

 utilizando el par:   1 −6t 5 −10t    → h(t ) =  − e + e  (t )  (e − at (t ), Re {a} ↔ 1  4  4   a + jω   
c) H ( jω ) =

Y ( jω ) jω + 5 = 2 X ( jω) ( jω ) + 16 jω + 60

Mediante examen:

d 2 y (t ) dy (t ) dx(t ) + 16 + 60 y (t ) = + 5 x(t ) dt 2 dt dt

5

PROBLEMA 2 (21%)

Las siguientes imágenes, etiquetadas A, B y C son respuestas a escalón correspondientes a tres de las cuatro respuestas de frecuencia etiquetadas 1,2 3 y 4. Para cada una de las respuestas a escalón, le rogamos introduzca el número de la correspondiente...