soluciones de programacion lineal

IPO DE LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Como se dijo al iniciar el tema del método gráfico en actividades, una de sus ventajas es la de permitirnos conocer en forma sencilla, los diferentes tipos de solución que podemos encontrar al resolver un modelo de programación lineal.
Aprenderemos a reconocer cuándo la solución de un modelo es de alguno de los posibles tipos que puedenpresentarse, a saber:
1.
Óptima única
2.
Óptima múltiple
3.
Óptima infinita o ilimitada
4.
Infactible
5.
Inexistente
 
1. Solución óptima única
Una solución es óptima única, cuando tanto las variables como la función del objetivo toman valores finitos, existiendo una sola combinación de valores de las variables que optimiza el valor de la función objetivo.
Los dos modelos resueltosen este capítulo tienen solución óptima única. Este es el tipo de solución que generalmente se presenta en los problemas reales de Programación Lineal.
El siguiente modelo tiene solución óptima única:
Maximizar:           Z = 3X1 + 4X2 


Sujeta a:
4X1 + 2X2 4
(1)
1X1 + 3X2 9
(2)
7X1 + 2X2 28
(3)
 
 
con X1, X2 0
 
 
(1)
(2)
(3)
X1
   0    1
  0    9
0      4
X2
  2     03     0
14       0
 
La solución gráfica del modelo aparece en la figura 3.8, en donde, se ha determinado que C(3.47,1.84) es el punto óptimo, mediante la enumeración y comparación de los puntos extremo. Nótese también que la recta genérica de la función objetivo se desplaza hasta tocar como último punto al punto óptimo C [Ver figura].
Punto
Coordendas
(x1,x2)
Función Objetivo
A
(1,0)
3B*
(4,0)
12
C
(3.47, 1.84)
17.8
D
(0,3)
12
E
(0,2)
8
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2. Solución óptima múltiple
Cuando al mover la isocuanta en su dirección de mejoría, su ultimo contacto con la región de factibilidad no es un punto, sino toda una línea, ó sea uno de los lados del polígono (poliedro); entonces todos los puntos que están sobre la recta son soluciones optimas del modelo. Como unarecta tiene un numero infinito de puntos, hemos encontrado un numero infinito de soluciones optimas equivalentes. De otra manera se dice que el modelo tiene soluciones óptimas alternativas.
La solución óptima múltiple no es tan frecuente en la práctica como la solución optima única. Si realmente encontramos este tipo de solución, tendríamos una gran flexibilidad para tomar la decisión, puesto que condiferentes valores de las variables, podemos obtener el mismo valor de la función objetivo, pudiendo de esta manera “escoger la solución” que más nos convenga en un momento determinado, en consideración a otros factores no cualitativos del problema.
Como ilustración, consideremos el siguiente modelo:
Maximizar:           Z = 14X1 + 6X2 


Sujeta a:
3X1 + 5X2 15
(1)
8X1 - 12X2 12
(2)
7X1+ 3X2 14
(3)
 
 
con X1, X2 0
Como se observa en la figura, al desplazar la isocuanta, el último contacto con la región factible es la recta BC. [Ver figura]. Esto indica que la solución óptima es múltiple ya que todos los puntos sobre la recta dan el mismo valor de la función objetivo, que es el máximo posible. Nótese que igualmente al elaborar la tabla de los puntos extremo, hallamos quelos puntos adyacentes B y C presentan el mismo valor de la función objetivo.
 
(1)
(2)
(3)
X1
   0    5
  0    1.5
  0     2
X2
3     0
-1    0
4.66      0
 
Punto
Coordendas (X1,X2) 
Función Objetivo
O
(0,0)
0
A
(1.5,0)
21
 B*
(1.89,0.26)
28*
C
(0.96,2.42)
28*
D
(0,3)
18
Puntos Extremos
Vectorialmente podemos demostrar que cualquier punto de la recta BC será unacombinación lineal convexa de los puntos B y C y representará también una solución óptima. El número infinito de soluciones óptimas se expresa como:

Adviértase que la función objetivo es paralela a la tercera restricción. Efectivamente, una condición necesaria, pero no suficiente para que se presente solución optima posible, es que la función objetivo sea paralela a una de las restricciones o a...