Soluciones numeros complejos

CLASE LUNES 14 DE NOVIEMBRE. NÚMEROS COMPLEJOS.
EJERCICIO 1:
La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esoscomplejos en la forma binómica.
La forma general de expresar un número complejo cualquiera es: por lo que su conjugado quedaría expresado de la forma:
De acuerdo a lo que nos plantea elenunciado del problema las partes reales de ambos números complejos, es decir a y a, cuando se suman da como resultado 6. Planteamos:

En la otra parte del enunciado se refiere a que la suma de losmódulos de estos números complejos es igual a 10.
El módulo de un número complejo o norma se calcula como:
Con el dato de quedaría planteado lo anunciado:

Para calcular el valor de ben esa ecuación elevamos al cuadrado ambos miembros:
Recordar propiedad que plantea que sí elevamos ambos miembros de una igualdad al cuadrado esta no se altera.


Por lo tanto losnúmeros complejos son:
y
EJERCICIO 2:
Calcular todas las raíces de la ecuación
Factorizando esa diferencia de cubos perfectos obtenemos:
Recordar factorización de cubos perfectos.Por lo tanto la primera raíz sería.
El segundo factor no tiene descomposición, por lo, que aplicamos la fórmula general de la ecuación cuadrática:



Ahora en elcampo de los números complejos esta ecuación tendría 3 soluciones.

EJRCICIO 3:
Demuestra que el número complejo es una raíz de la ecuación:
Primeramente factorizamos laecuación aplicando Ruffini:
1 2 2 1 -6 1
1 3 5 6
1 3 5 6 0
Factorizamos el segundo factor:
1 3 5 6 -2
-2-2 -6
1 1 3 0
Busquemos la raíz compleja en el trinomio que no tiene descomposición:


Por lo tanto es una raíz de la ecuación: