Soluciones T 4 Micro

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico.
Universidad de Alicante.
Curso 2012/13
ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA
Soluciones a los problemas del Tema 3
Notas: - En todos los ejercicios se supone que la muestra que se utiliza constituye
una muestra aleatoria simple.
- En todos los contrastes en los que no se indique el nivel de signi…cación,
utiliza = 0:05 como nivelde signi…cación.
1. Sea X una variable aleatoria (v.a.) con distribución binomial Bi(1; p). El valor de
p es desconocido, pero sabemos que es o bien 0:5 o bien 0:8. Queremos contrastar la
hipótesis nula p = 0:5, frente a la hipótesis alternativa p = 0:8, para lo cual tenemos
una muestra de X de tamaño 3, con la que calculamos p = (X1 + X2 + X3 )=3:
b
(a) Teniendo en cuenta cuáles son en estecaso las hipótesis nula y alternativa,
¿cuáles de las siguientes regiones críticas crees que pueden ser razonables?
i. fp
b

ii. fp
b

0:5g
0:8g

iii. fp = 0g
b
iv. fp = 1g
b

v. fp = 0 o p = 1g
b
b

(b) Para cada uno de los casos en que la región crítica propuesta es razonable,
calcula cuál es la probabilidad de error de tipo I y la probabilidad de error
de tipo II.(Indicación: Ten en cuenta que X1 + X2 + X3 tiene distribución
binomial Bi(3; p)).
Solución:
(a) La región crítica nos dice cuándo rechazaremos H0 . En este caso, bajo H0 es
p = 0:5; mientras que bajo H1 es p = 0:8; por tanto, como p es una buena
b
aproximación de p; cuanto mayor sea p más evidencia hay en contra de H0 ;
b
luego la región crítica tiene que contener únicamente valores grandes de p:Por
b
tanto sólo son razonables las regiones críticas de los subapartados ii y iv.

(b) Si hacemos el contraste tomando como región crítica la del subapartado ii,
entonces:
P (Error de tipo I) = P (Rechazar H0 j H0 verdadera) = P (p
b
= P (3p
b

2:4 j p = 0:5) = P (X1 + X2 + X3

0:8 j p = 0:5)
2:4 j p = 0:5)

= P (X1 + X2 + X3 = 3 j p = 0:5) = 0:53 = 0:125
1

Obsérvese que,como X1 + X2 + X3 tiene distribución Bi(3; p); el suceso X1 +
X2 + X3 2:4 equivale al suceso X1 + X2 + X3 = 3; esta propiedad es la que
hemos utilizado en la quinta igualdad anterior. Por otra parte:
P (Error de tipo II) = P (No Rechazar H0 j H0 falsa) = P (p < 0:8 j p = 0:8)
b

= P (3p < 2:4 j p = 0:8) = P (X1 + X2 + X3 < 2:4 j p = 0:8)
b

= P (X1 + X2 + X3
= 0:23 + 3

2 j p = 0:8)0:22 + 3

0:8

0:82

0:2 = 0:488

Si hacemos el contraste tomando como región crítica la del subapartado iv,
entonces obtendremos exactamente los mismos resultados que antes, ya que
como sólo hay tres observaciones, p sólo puede tomar los valores 0; 1=3; 2=3 y
b
1; luego los sucesos p 0:8 y p = 1 son equivalentes.
b
b

2. En un juego de azar se consigue premio si al lanzar un dadose obtiene un seis.
Se sospecha que el dado puede estar trucado de manera que la probabilidad de
obtener un seis sea inferior a 1/6. Para analizar esta sospecha, decidimos realizar
un contraste de hipótesis lanzando 24 veces el dado y observando la proporción p
b
de seises obtenidos en los 24 lanzamientos.
(a) Escribe cual es la hipótesis nula H0 y cuál es la hipótesis alternativa H1 delcontraste.

(b) Determina la distribución de la v.a. 24p:
b
1
g
24

(c) Tomando como región crítica fp
b
contraste realizado?

¿cuál sería el nivel de signi…cación del

(d) Para la región crítica descrita en c), ¿cuál es la potencia si p = 0:125? ¿Y si
p = 0:1?
Solución:
(a) La hipótesis nula sería H0 : p = 1=6 y la alternativa sería H1 : p < 1=6, siendo
p la probabilidad de obtenerun seis con el dado.
(b) Si llamamos Xi a la v.a. que toma el valor 1 si en el iP simo lanzamiento
é
24
obtenemos un 6 o 0 en caso contrario, entonces 24p =
b
i=1 Xi es una v.a.
con distribución binomial Bi(24; p); siendo p la probabilidad de obtener un 6
al lanzar el dado.

2

(c) El nivel de signi…cación es la mayor probabilidad de error de tipo I. En este
caso:
P (Error de...