Solución De Sistema De Ecuaciones, Método De Factorización Lu
Páginas: 3 (619 palabras)
Publicado: 5 de marzo de 2013
Factorización LU
Variación del método de eliminación Gaussiana
La matriz de coeficientes A se transforma en el producto de dos matrices: L y U, en donde L es una matriz triangular inferior y U esuna matriz triangular superior
Factorización LU
A en los factores L y U es posible cuando los determinantes de las submatrices de A son distintas de cero
La descomposición de la matriz
a11 a11 a 21a11 . . an1
0 a12 a 22 .... 0 a1n . ... a mn 0
Factorización LU
El resultado anterior permite resolver el sistema Ax = b en dos etapas. Si se sustituye LU por A, se tiene:
LUx = b
Luego al hacer Ux= c
(1)
Donde c es un vector desconocido [c1, c2, c3,…cn], que se podrá calcular mediante sustituciones progresivas al resolver el sistema: Lc = b (2)
Una vez calculado el vector c de la ecuación(2), se resuelve la ecuación (1) mediante sustitución regresiva, ya que U es una matriz triangular superior.
Factorización LU
Luego se obtienen las matrices L y U , analizando la factorización de Aen las matrices L y U dadas a continuación:
l11
0
0
u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33
a11 a12 a13 a21 a22 a 23 a31 a32 a33
l21 l22 0 l31 l32 l33
Para encontrar cada uno de los elementos de A selleva a cabo la multiplicación de las matrices L y U
l11u11 l11u12 l11u13 l21u11
a11 a12 a13 a21
l21u12 l22u22 l21u13 l22u23 l31u11 a31 l31u12 l32u22
a22 a23 a32 a33
l31u13 l32u23 l33u33 Factorización LU
Se llega a un sistema de nueve ecuaciones con doce incógnitas: l11, l21, l22, l31, l32, l33, u11, u12, u13, u22, u23 y u33 ; por lo que es necesario establecer tres condiciones arbitrariassobre las incógnitas para resolver dicho sistema. La forma de seleccionar las condiciones ha dado lugar a diferentes métodos; por ejemplo: Método de Doolitle: Si se toma l11 = l22 = l33 = 1
MétodoCrout:
Si se toma u11 = u22 = u33 = 1
METODO DE DOOLITTLE
Como ya se explicó, en este método los elementos de la diagonal principal de la matriz L son iguales a la unidad, al sustituir estos valores...
Variación del método de eliminación Gaussiana
La matriz de coeficientes A se transforma en el producto de dos matrices: L y U, en donde L es una matriz triangular inferior y U esuna matriz triangular superior
Factorización LU
A en los factores L y U es posible cuando los determinantes de las submatrices de A son distintas de cero
La descomposición de la matriz
a11 a11 a 21a11 . . an1
0 a12 a 22 .... 0 a1n . ... a mn 0
Factorización LU
El resultado anterior permite resolver el sistema Ax = b en dos etapas. Si se sustituye LU por A, se tiene:
LUx = b
Luego al hacer Ux= c
(1)
Donde c es un vector desconocido [c1, c2, c3,…cn], que se podrá calcular mediante sustituciones progresivas al resolver el sistema: Lc = b (2)
Una vez calculado el vector c de la ecuación(2), se resuelve la ecuación (1) mediante sustitución regresiva, ya que U es una matriz triangular superior.
Factorización LU
Luego se obtienen las matrices L y U , analizando la factorización de Aen las matrices L y U dadas a continuación:
l11
0
0
u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33
a11 a12 a13 a21 a22 a 23 a31 a32 a33
l21 l22 0 l31 l32 l33
Para encontrar cada uno de los elementos de A selleva a cabo la multiplicación de las matrices L y U
l11u11 l11u12 l11u13 l21u11
a11 a12 a13 a21
l21u12 l22u22 l21u13 l22u23 l31u11 a31 l31u12 l32u22
a22 a23 a32 a33
l31u13 l32u23 l33u33 Factorización LU
Se llega a un sistema de nueve ecuaciones con doce incógnitas: l11, l21, l22, l31, l32, l33, u11, u12, u13, u22, u23 y u33 ; por lo que es necesario establecer tres condiciones arbitrariassobre las incógnitas para resolver dicho sistema. La forma de seleccionar las condiciones ha dado lugar a diferentes métodos; por ejemplo: Método de Doolitle: Si se toma l11 = l22 = l33 = 1
MétodoCrout:
Si se toma u11 = u22 = u33 = 1
METODO DE DOOLITTLE
Como ya se explicó, en este método los elementos de la diagonal principal de la matriz L son iguales a la unidad, al sustituir estos valores...
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