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APUNTES DE ALGEBRA II: 220156
PARA LA CARRERA DE INGENIERÍA
EJECUCIÓN EN COMPUTACION E
INFORMÁTICA

C. Picarte

Concepción, Agosto 20 del 2013.

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Índice general
1. Matrices y Determinantes
1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Producto de un Escalar por una Matriz . . . . . .1.1.3. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Matrices Inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6. Matrices Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Regla de SARRUS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . .
1.2.3. Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Notación Matricial de un Sistema de Ecuaciones
1.3.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

1 Matrices y Determinantes
1.1

Matrices

Def: Sea K (N, R, C, etc.), un cuerpo y k = {1, 2, 3, . . . , k}. Una matriz con elementos enK es una función o una aplicación definida de m × n en K, de manera que el elemento
(i, j) le asigna como imagen el elemento aij de K
La matriz se escribe (aij ) donde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Para denotar las matrices
usaremos letras mayúsculas (ejem. A, B, C, . . . etc.).
Ejem: La matriz A de m filas y n columnas, con elementos aij se escribe:
⎛ a11 a12 a13
⎜ a21 a22 a23
⎜
A = (aij ) = ⎜a31 a32 a33
⎜
⎜
⎜
⎝am1 am2 am3

⋯
⋯
⋯
⋱
⋯

a1n ⎞
a2n ⎟
⎟
a3n ⎟
⎟
⎟
⎟
amn ⎠

Obs: La matrix A se dice de orden m × n
Ejem: Sea la matriz C:
1 −2 3
C=(
)
4 5 1
Esta matriz es de orden 2 × 3, es decir, consta de 2 filas y 3 columnas.
Llamaremos Mm×n (K), el conjunto de todas las matrices de orden m×n con elementos
en el cuerpo K
En el ejemplo anterior, la matriz C ∈ M2×3(R)
Obs: Si m = n, la matriz se dice “Rectangular”
/
Si m = n, la matriz se dice “Cuadrada” de orden n.
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Ejem: La matriz: A = (
)
Es una matriz, tal que A ∈ M2×2 (C), que denotaremos por
i 4 2×2
A ∈ M2 (C).
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CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

1.1.1.

Suma de Matrices

Sean A y B dos matrices de Mm×n (K), se define la suma A + B como la matriz C de
Mm×n de modo que:Sean A = (aij ) ; B = (bij ), entonces C = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ), es decir, “se suman los
elementos correspondientes”
Obs: Las matrices A y B deben tener el mismo orden.
⎛ 2 5⎞
⎛−10 4⎞
Ejem: Sean A = ⎜−1 0⎟, B = ⎜ 3 7⎟. Calcular A + B.
⎝ 4 3⎠
⎝ 1 1⎠
⎛ 2 − 10 5 + 4⎞ ⎛−8 9⎞
Sol: C = A + B = ⎜−1 + 3 0 + 7⎟ = ⎜ 2 7⎟
⎝ 4 + 1 3 + 1⎠ ⎝ 5 4⎠
Propiedades de la Suma de Matrices
Sean A,B, C ∈ Mm×n .
S1 : Conmutatividad: A + B = B + A
S2 : Asociatividad: A + (B + C) = (A + B) + C
S3 : Existe Elemento Neutro:Es la matriz nula=Θ (todos sus elemento son cero).
S4 : Existe Inverso Aditivo: Para toda matriz A = (aij ), existe la matriz B = (−aij ), tal que
A+B =Θ

1.1.2.

Producto de un Escalar por una Matriz

Sea k un elemento del cuerpo K y A ∈ Mm×n .
Se define k ⋅ A =...