Subespecios vectoriales y Transformaciones Lineales

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN, CAMPO: 4
ÁLGEBRA LINEAL
Exposición:
3.2. El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales.
3.2.1. Caso de dimensión finita: relación entre las dimensiones del dominio,recorrido y el núcleo de una transformación lineal.
3.2.2. Análisis de transformaciones lineales inyectivas, suprayectivas y
biyectivas.3.3. Concepto de obtención de la matriz asociada a una transformación lineal
con dominio y codominio de dimensión finita.
3.3.1. Álgebra de las transformaciones lineales; definición y propiedades
de: adición, multiplicación por un escalar, composición e inversa.

PROFESOR: Pacheco Estrada Gonzalo Guadalupe
Presentado por:
Rivera Cruz Alma Haydee N/L:23/
Grimaldi López Víctor Hugo N/L: 9/
RemigioMunguía Eduardo Alberto N/L:33/
Grupo: 2206 Ingeniería Industrial




3.2. El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales.
Definición de recorrido o imagen y núcleo de una transformación lineal.
El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales.
“Im(T)” significa- la Imagen de T
“Ker(T)”quiere decir el núcleo de T

(el núcleo de una transformación lineal es un subespecievectorial del dominio)
El Ker (nucleo) de una aplicación, se calcula como un vector v que existe en el espacio, tal que la imagen de ese vector sea el origen o sea cero.
El nucleo de una alicacion es igual a todos los vectores del dominio V tales que si imagen es igual a cero, o la imagen es el vector w=(0)

la imagen de una transformaci´on lineal es un subespacio vectorial del codominio

La Im(T) “Imagende T”, es un vector w que existe en nuestro espacio, (ya sea R3, R4, R5 dependiendo el espacio) tal que exista otro vector v que también exista en el mismo espacio, tal que T(v)=w, es decir , la imagen del vector v sea = a w
Definición: si T: V W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en V que T transforma en 0 se denomina núcleo (kernel o espacio nulo) de T, y sedenota por ker(T). El conjunto de todos los vectores en w que son imágenes bajo T de por lo menos un vector en V se denomina recorrido de T y se denota por R(T)
Ejemplo 1: Si : es la multiplicación, por la matriz A m x n, entonces por el análisis anterior, el núcleo de es el espacio nulo de A y el recorrido de es el espacio columna de A.
Propiedades del núcleo y del recorrido
Teorema. SiT: V W es una transformación lineal, entonces:
a) El núcleo de T es un subespacio de V.
b) El recorrido de T es un subespacio de W.
Rango y Nulidad de las transformaciones lineales
Definición: T: V W es una transformación lineal, entonces la dimensión del recorrido de T se llama rango de T y se denota por rango (T); la dimensión del núcleo se denomina nulidad de T y se denota pornulidad (T).
Teorema. Si A es una matriz m x n y : es la multiplicación por A, entonces:
a) Nulidad () = Nulidad (T)
b) Rango ) = Rango (A)
Ejemplo:
Sea : la multiplicación por

-1 2 0 4 5 -3
A= 3 -7 2 0 1 4
2 -5 2 4 6 1
4 -9 2 -4 -4 7

Encontrar el rango y la nulidad de
En un problema se demostró que rango de (A)= a y nulidad(A) = 4, por el teorema se tiene que rango de ) = y nulidad (A)= 4
Teorema de dimensión de las transformaciones lineales.
Si V W es una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n a un espacio vectorial W, entonces:
Rango (T) + nulidad (A) = n

Ejemplos:
1. Sea la transformación lineal X:ℝ4→ℝ3, definida por X(w,x,y,z) = (w+2x+3y+z,w+3x+5y-2z,3w+8x+13y-3z )
Para obtener sunúcleo y recorrido se procede de la siguiente manera
Recorrido. Al transformar una base del dominio, se obtendrá un conjunto generador del recorrido; se utilizará la base canónica de ℝ4

Por lo que el conjunto generador será G= {(1,1,3),(2,3,8),(3,5,13),(1,-2,-3)}; con éste se establece el espacio generado, utilizando los vectores como renglones de una matriz

Al escalonar esta matriz y obtener...