Succeciones

Sucesiones y límites de sucesiones

Tema 1

Tema 1 Sucesiones de números reales. Límites de sucesiones 1.1 Conceptos previos
Intervalos y entornos Definición Dados dos números reales a y b, con a < b , se define intervalo cerrado de extremos a y b, y se representa por [a , b ] , al conjunto [a, b ] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} . Su representación en la recta real es:

a [

b ]

Definición Sedefine intervalo abierto de extremos a y b, y se representa por (a, b ) , o bien

]a, b[ , al conjunto (a, b ) = {x ∈ R / a < x < b} .
Su representación sobre la recta real es: a ( b )

En las definiciones anteriores, los extremos pueden ser infinitos. Al intervalo [−∞,+∞ ] se le llama recta real ampliada y se denota por R . Nota Evidentemente, los intervalos cerrados contienen a sus extremosmientras que los abiertos no; pero hay otra diferencia sustancial entre intervalos abiertos y cerrados. En el intervalo [a , b ] , a es el menor y b el mayor de los números que pertenecen a dicho intervalo, llamados mínimo y máximo respectivamente; sin embargo, en el intervalo (a, b ) no hay ni mínimo ni máximo, pues a no pertenece al intervalo y no puede encontrarse ningún número a’ de (a, b )que sea mayor que a y tal que entre a y a’ no haya ningún número de (a, b ) . Muy al contrario, en la recta real sucede que entre dos números cualesquiera, por próximos que se elijan, siempre hay infinitos números reales. Definición Se llama entorno de un punto a todo intervalo abierto que lo contenga. Así, por ejemplo, el intervalo (8,12) es un entorno del punto 9, como también lo es del punto 10y de todos los puntos del propio intervalo. Nota Si el punto está en el centro del intervalo entonces, a ese intervalo, se le llama entorno centrado. A la distancia entre el centro y cualquiera de los extremos del intervalo se le llama radio del entorno. Así el intervalo (8,12) es un entorno centrado de centro c = 10 y cuyo radio

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Sucesiones y límites de sucesiones

Tema 1

r = 2.Definición Se llama entorno de centro a y radio r (r > 0 ) , y se denota por E (a, r ) o E r (a ) ,
al intervalo abierto (a − r , a + r ) .

Nota Observa que E r (a ) representa también el conjunto de puntos que distan de a en menos de r unidades. En efecto, el conjunto de puntos que distan de a en menos de r unidades es {x ∈R / x − a < r }. La desigualdad anterior es equivalente a la dobledesigualdad −r < x − a < r y sumando a a los tres miembros se tiene a − r < x < a + r , cuya solución son todos los puntos del intervalo (a − r , a + r ) . Formas de determinar un entorno Según lo anterior, un entorno centrado queda determinado si se conoce el centro y el radio o se conocen sus extremos o viene dado de la forma {x ∈R / x − a < r } . Ejemplos

Ejemplo 1.1 El entorno de centro 3 yradio 5 queda determinado de cualquiera de estas tres formas: b) (− 2,8 ) c) {x ∈ R / x − 3 < 5}. a) E 5 ( 3 ) Ejemplo 1.2 Si queremos determinar el centro y el radio del entorno centrado definido por el intervalo (− 3,5 ) , se calcula el radio como la semidiferencia de la distancia entre los extremos

5 − ( −3) = 4 y, como consecuencia, el centro es 5 − 4 = 1 o −3 + 4 = 1 . Por lo que se puede 2escribir (−3,5 ) = E 4 (1) .
Ejemplo 1.3 Para determinar los extremos del entorno {x ∈ R / x + 5 < 0,5}, como el centro es

−5 y el radio es 0’5, los extremos inferior y superior son respectivamente a = −5 − 0'5 = −5'5 y b = −5 + 0'5 = −4'5 , por lo que el intervalo que resulta es (a, b ) = (-5’5,-4’5).

1.2 Sucesiones de números reales
De un modo intuitivo se puede definir una sucesión comoun conjunto ordenado e infinito de números reales. Definición Una sucesión es una aplicación a de N * en R , tal que a cada número natural n le asigna como imagen el número real a(n ) = a n . Esto es, n indica la posición y a n es el término de la sucesión que corresponde a esa posición. De forma análoga, denotamos por a1 al primer término, a 2 al segundo y, así, sucesivamente. Al término que...