Sucesiones Geométricas

*Sucesiones Geométricas: Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, sibien, esta distinción no es estricta.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión





*Series Geométricas: Enmatemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.
Por ejemplo la serie

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1/2.
Los ejemplos más generales de series con sumas finitas son las sucesiones geométricas. Las series geométricas, a pesar de su apariencia simple, estánpresentes en el desarrollo temprano del cálculo y el estudio de la noción de convergencia.
Convergencia Geométrica
La serie geométrica real de término inicial no nulo y de razón es convergente si y solamente si | r | < 1. En tal caso, su suma vale:


*Sucesiones Armónica: Una progresión armónica es una sucesión de números tales que sus recíprocos forman una progresión aritmética.
1/a, 1/(a+d),1/(a+2d),...,1/(a+nd)
Se llaman progresiones armónicas porque cada término es la media armónica entre el anterior y el siguiente.
1/ak = (1/ak-1+ 1/ak+1)/2
*Series Armónica: En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3,1/4, 1/5, 1/6, 1/7...
*Divergencia de la serie armónica: La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:


que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la mismamanera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales.
Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar
*Convergencia de la serie armónica alternada: La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.
*Sucesionesalternadas: Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
*Convergentes:
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.
*Divergentes :
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.

*Serie de Potencias: Series De PotenciaSeries de potencias Convergencia de las series de potencias DefiniciónRecibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ’ n=0 an(xc)n. El númeroreal an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el términon-ésimo de la serie es an(xc)n). Si los coeficientes a0, a1, am1 son nulos, la serie sueleescribirse ’ n=m an(xc)n. En cierto modo, se trata de una especiede polinomio coninfinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de xconverge una serie de potencias?Obviamente, es segura la convergencia para x =c, con suma a0, y puede suceder que éstesea el único punto en el que la serie converge
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una...