suma de numero de terminos de una progresion

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + anSi se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

Si se tiene en cuentaque al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r=a2+a3+ ... + an-1 + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despejaSn,

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula,se puede expresar el término general de la progresión an como

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Si queremoscalcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
Si elvalor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiendehacia 0, de modo que:

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula: