Sumatoria

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toria
SUMATORIAS

1. Concepto de sumatoria.

A menudo resulta difícil trabajar con todos los elementos de una determinada sucesión, considerándolos como sumandos.
Para facilitar este trabajo se ha convenido representar la adición de los términos en forma abreviada mediante el signo ( acompañado de la fórmula o término general que define a la sucesión y del rango devalores que tomará la variable considerada en esa fórmula.

Se denomina sumatoria de una sucesión an a la forma abreviada de escribir sus términos expresados como sumandos.
Se anota:
k=n
a1 + a2 + a3 + ... +an = ( akk=1

2. Propiedades de las sumatorias.

a. Sumatoria de una constante.

Si c es una constante, entonces:

n
( c = n ( c
k=1
Demostración:
n
Desarrollando lasumatoria ( c , tenemos:
k=1
n
( c = c + c + c + ... + c (n veces)
k=1

por lo tanto, n
← c = n ( c q.e.d.
k=1

b. Sumatoria deun producto de una constante por los términos de una sucesión.
Si c es una constante, entonces
n n
( c ( ak = c ( ( ak
k=1 k=1
Demostración: n
Desarrollando la sumatoria ( c ( ak tenemos:
nk=1
( c ( ak = c ( a1 + c ( a2 + ... + c ( an
k=1
= c (a1 + a2 + ... + an )
n n
( c ( ak = c ( ( ak q.e.d.
k=1 k=1

c. Sumatoria de la suma o resta de términos de dos o más sucesiones.
Si ak y bk son sucesiones, entonces se cumple quen n n
( (ak + bk) = ( ak + ( bk
k=1 k=1 k=1
Demostración: n
Desarrollando la sumatoria ( (ak + bk) tenemos:
k=1
n
( (ak + bk) = a1 + b1 + a2 + b2 + ... + an + bn
k=1
=(a1 + a2 + ... + an) + (b1 + b2 + ... + bn)
n n n
( (ak + bk) = ( ak + ( bk q.e.d
k=1 k=1 k=1


d. Descomposición de una Sumatoria en dos sumatorias.

n q n
( ak = ( ak + ( ak
k=1 k=1 k = q + 13. Propiedad telescópica de las sumatorias.

El desarrollo de algunas sumatorias tiene la particularidad de que casi todos sus términos se anulan, quedando éstas reducidas a solo dos términos.
Esta propiedad se denomina propiedad telescópica de las sumatorias.

Observemos los siguientes casos:
n
( (ak+1 - ak) = (a2 - a1) + (a3 - a2) + (a4 - a3) + ... + (an - an-1) + (an+1 - an)
k=1n
de tal forma que: ( (ak+1 - ak) = an+1 - a1
k=1
n
Análogamente: ( (ak - ak+1) = a1 - an+1
k=1
La propiedad telescópica de las sumatorias también es válida para la sumatoria de los recíprocos de los términos vistos en los casos anteriores.
n...
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