sumatorias

3.2. Propiedades de las sumatorias.

Si (ai )(1≤i≤n) y (bi )(1≤i≤n) son dos sucesiones reales entonces:
(1)

n
�
i=1

n
�

(ai ± bi ) =

i=1

En efecto

• p.d.q.

i=1

• Datos:
–
–

n
�

n
�

i=1
n
�
i=1

ai ±

n
�

bi

i=1

(ai + bi ) =

n
�
i=1

ai +

n
�

bi

i=1

ai = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n
bi = b1 + b2 + b3 + · · · + bn´
2. ARIT ETICA NATURAL

44

–

n
�
i=1

(ai + bi ) = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + · · · + an + bn

• Luego,

n
�
(ai + bi ) = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + · · · + an + bn
i=1

= (a1 + a2 + a3 + · · · + an ) + (b1 + b2 + b3 + · · · + bn )
n
�

=

ai +

i=1

(2) Si c ∈ R entonces


n
�
i=1

n
�

bi

i=1

c · ai = c ·

n
�

ai

i=1

En efecto• p.d.q. :
• Datos :

n
�

i=1
n
�
i=1

c · ai = c ·

n
�

ai

i=1

c · ai = c · a 1 + c · a 2 + c · a 3 + · · · + c · a n

• Luego,
n
�
i=1

c · ai = c · a 1 + c · a 2 + c · a 3 + · · · + c · a n
= c · (a1 + a2 + a3 + · + can )
= c·

(3)

n
�
i=1

ai =

s
�

ai +

i=1

n
�

ai

i=s+1

n
�

ai

i=1

1≤s≤n

En efecto
• p.d.q.

n
�ai =

i=1

• Datos :

n
�
i=1

s
�
i=1

ai +

n
�

ai

i=s+1

ai = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n

´
3. INDUCC ON

• Luego,
n
�
i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · · + as + as+1 + · · · + an
=

s
�

ai +

i=1

(4)

n
�
i=1

(5)

r
�
i=s

(ai − ai+1 ) = a1 − an+1
ai =

r+t
�

n
�

ai

i=s+1

(Propiedad Telesc´pica)
o

(Propiedad delreloj)

ai−t

i=s+t

Ambas se las dejo como ejercicio.

3.3. Ejercicios Resueltos de Sumatorias.

(1) Calcule la siguiente sumatoria :

(54)

S=

100
�

3

j=1

Soluci´n
o
(i) Por definici´n de sumatoria sabemos que
o
100
�

(55)

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · · + a100

(ii) El punto ( 55), motiva definir, la siguiente f´rmula:
o

(56)

ai = 3 para i=1,2,3,.. . ,100 ; este es el rango de variaci´n de i
o
Es decir,
a1
a2

= 3
= 3
.
.
.

a100 = 3

45

´
2. ARIT ETICA NATURAL

46

(iii) Finalmente, aplicando (55) y (56) en (54) tenemos:
S =

100
�

i=1
100
�

3
ver

(56)


=
a2 + a3 + · · · + a100
ver
= 3 + 3 + · · · + 3 (100 − veces)
= 300

(55)


=

ai

i=1

a1 +

La primera conclusi´n que sepuede obtener de ( 54), es que podemos cambiar
o
o substituir el n´mero 3 o mejor la constante 3, por cualquier otra constante
u
c, lo mismo que el natural 100, puede ser cambiado por un natural n ∈ N.
As´ por ejemplo:
ı
– Para c = 1 y n ∈ N
n
�

(57)


i=1

1 = 1 + 1 +�� · · · + 1 = 1 · n = n
1
�
�
(n veces)

– En general, para c ∈ R y n ∈ N tenemos que:

n
�

(58)

i=1c=c·n

(2) Calcule la siguiente sumatoria
(59)

S=

9
�

(2 + 3i)

i=1

Soluci´n
o
(i) Por definici´n de sumatoria sabemos que
o

(60)

9
�
i=1

ai = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a 9

(ii) El punto ( 60), motiva definir, la siguiente f´rmula:
o

(61)

ai = (2 + 3i) para i=1,2,3,. . . ,9 ; este es el rango de variaci´n de i
o

´
3. INDUCC ON

47

Es decir,
a1= 2 + 3 · 1
a2 = 2 + 3 · 2
.
.
.
a9 = 2 + 3 · 9
y
(iii) Finalmente, aplicando ( 60) y ( 61) en ( 59) tenemos:


S =

9
�

(2 + 3i)

i=1

=

9
�

ver( 61)

ai

i=1
a1 +

=
a2 + a3 + · · · + a 9
ver( 60)
= (2 + 3 · 1) + (2 + 3 · 2) + · · · + (2 + 3 · 9)
= 18 + 3 · 45
= 153
o
Si observamos la soluci´n del problema anterior tenemos que:

S =
=

9
�

i=1
9�

(2 + 3i)
ai

i=1
a1 +

=
a2 + a3 + · · · + a 9
= (2 + 3 · 1) + (2 + 3 · 2) + · · · + (2 + 3 · 9)
= 2 + 2 + 2 + · · · + 2 +3 · (1 + 2 + 3 · +9)
�

��
�
9 - veces
9
9
�
�
=
2+3·
i
i=1

i=1

= 2 · 9 + 3 · 45

As´ que, usando la definici´n de sumatoria es posible resolver los problemas,
ı
o
pero usando sus propiedades se ocupa menor tiempo.
(3) Supongamos...