SUPERFICIES CUADRICAS

Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” Matemática III (Ingeniería)
Ing. Daniel Augusto Sosa
Ing. José María Velásquez
Ing. Eduardo Escapini


I. Cilindros:

Definición:
Un cilindro es una superficie compuesta que:
Cilindros y Superficies Cuádricas.

1. Son paralelas a una recta dada en el espacio.
2. Pasan por una curva plana dada; la curva es una curva generatriz para elcilindro.

En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son círculos, pero ahora consideraremos curvas generatrices de cualquier clase.



Curva generatriz en el plano Y Z














Rectas que pasan por la curva generatriz paralela al
eje x


Ejemplo 1. Encuentre una ecuación para el cilindro formado por las rectas paralelasal eje z que pasa por la parábola
z = 0 .
y = x2 ,


Suponga que el punto
P ( x , x 2 , z ) se encuentra sobre la parábola
y = x2

en el plano xy. Entonces para cualquier valor de z ,
el punto Q ( x , x 2 , z ) está sobre el cilindro porque se encuentra sobre la recta x = x
, y = x 2 que pasa por
P ( x , x 2 , z ),
0 0 0 0
0 0 0

paralela al eje z . Inversamente, cualquierpunto
Q ( x , x 2 , z ) , cuya coordenada “y” es el cuadrado de cualquier “x”, está sobre el

cilindro porque se encuentra sobre la recta
x = x
, y = x 2

que pasa por

P , paralela al eje z. De manera que
0 0 0
2
independientemente del valor de z, los punto sobre la superficie son los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación

2
y = x .
Esto hace a laexpresión
y = x
una ecuación para el cilindro.

Cilindro Parabólico
y = x2


















Curva generatriz








En el ejemplo anterior se sugiere que toda curva de la forma
f ( x, y ) = c , en el plano xy define un cilindro paralelo al eje z cuya

ecuación también es
f ( x, y ) = c . Los cilindros también pueden tener diversas orientaciones, por ejemplo si suecuación es
g ( x, z ) = c en el plano xz , obtendremos un cilindro paralelo al eje y; si su ecuación es h ( y, z ) = c en el plano yz , obtendremos

un cilindro paralelo al eje x.




Ejemplo 2. Cilindro circular recto.

La ecuación
x2 + y2 = a2

define el cilindro circular formado por las rectas paralelas al eje z que pasan por el círculo
x2 + y2 = a2 enel plano.

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z

En el plano: En el Espacio: Y
a



x
Ejemplo 3. Represente los cilindros

a) x2 + 4 z 2 = 4
(cilindro elíptico)

Traza elíptica
(Sección transversal)

Elipse generatriz
























b) y
2 − z 2= 1 (cilindro hiperbólico)


Hipérbola generatriz



















Traza Hiperbólica (Sección transversal perpendicular al eje x)
II. Superficies Cuádricas

Definición:
Una superficie cuadrática ( o cuádrica ) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy +Iz + J = 0

donde A, B, C, …, J son constantes.

1. Elipsoide.

Tiene por ecuación


x2 y2 z2
+ + = 1
a2 b2 c2

Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse




Si x = 0


Si y = 0
y2 z2
⇒ + = 1
b c
x2 z2
⇒ + = 1
a c

elipse


elipse

Siz = 0

x2 y2
⇒ + = 1 elipse
a bNota: Una esfera es un elipsoide con a=b=c
Siendo sus trazas círculos



2. Hiperboloide de una hoja.



x2
Tiene por ecuación
+ y − z = 1
a2 b2 c2

Las trazas del hiperboloide son hipérbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.








Si z = 0



Si x = 0



Si y = 0
x2 y2
⇒ +
a b2...