Superficies Cuadricas

Cuádrica
Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma:
donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas .
Cuando no se precisa, es una superficie del espaciotridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.
Historia
Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron elestudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.
Definición algebraica
Una cuádrica osuperficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son , entonces la cuádrica típica en eseespacio se define mediante la ecuación algebraica:

donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales ocomplejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.
Ecuación cartesiana
La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

* La definición algebraica delas cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.
Por ejemplo, la ecuación:

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

queequivale a:
,
una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundogrado que son cuadrados.
* A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece de términos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:

entonces lostérminos lineales para cada variable:

pueden asimilarse a los cuadráticos:

mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas...