superficies cuadricas

Superficie:
Def. Lugar de puntos que satisfacen una ecuación del tipo . Son ejemplos de superficies:
: El plano



: La esfera.




Superficies Cilíndricas:
Cilindro: Def.: Superficie generada cuando una recta (generatriz) se mueve paralelamente a sí misma a lo largo de una curva (directriz). Su ecuación tiene dos de las tres variables por lo tanto es del tipo . La generatriz esparalela al eje de la variable faltante y la directriz es la curva en el plano de las variables en la ecuación.










Directriz de una curva cerrada Directriz de una curva abierta
Traza de una Superficie: Intersección de la superficie con un plano.








Superficies Cuádricas:
Def.: Es la grafica en el espacio de unaecuación de segundo grado en de la forma:

donde los son números reales, . Las Superficies Cuádricas Básicas son: los elipsoides, los hiperboloides, los conos elípticos y los paraboloides.


















































FUNCIONES VECTORIALES
Def.: Una función de la forma
(Plano)
(Espacio)
Es una Función Vectorial,donde las funciones componentes f, g, h son funciones del parámetro t. Estas Funciones Vectoriales se denotan también como:

Una curva dada vectorialmente se define como:
El conjunto de pares ordenados Plano.
El conjunto de ternas ordenadas Espacio.
Tales que satisfacen las ecuaciones paramétricas:

Las Funciones Vectoriales se utilizan para representar el movimiento de una partícula a lolargo de una curva o trazar la grafica de una curva, si t es el tiempo.










Dominio de una Función Vectorial: Es la intersección de los dominios de las funciones componentes f, g, h. .

Las Funciones Vectoriales se pueden sumar y restar o multiplicar por un escalar, si y , entonces:

Si , entonces

Limites de una Función Vectorial: Si ,entonces:

Siempre que existen los limites de f, g, h cuando .

Continuidad de una Función Vectorial: Una Función Vectorial es continua en un punto dado por si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
i. existe;
ii. existe;
iii. .
Una Función Vectorial es continua en un intervalo I si ella es continua en todo punto de I.


Derivada de una Función Vectorial: Esta sedefine como:

Para todo t para el cual existe el límite. Si existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de Funciones Vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.
La derivada de una Función Vectorial también se denota:.
Si , donde f, g, h son funciones derivables de t, entonces .
Una curva C,definida por , se denomina Suave, si f’, g’, h’ son continuas en cierto intervalo I y además , para todo t en I.
Las derivadas de orden superior de Funciones Vectoriales se obtienen por derivación sucesiva de cada una de las funciones componentes.
Propiedades de la derivada de Funciones Vectoriales: Sean y Funciones Vectoriales de t, f una función real derivable de t y c un escalar, entonces:1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. Si entonces .

Integración de Funciones Vectoriales: Si , donde f, g, h son funciones continuas en , entonces la Integral Indefinida (primitiva) de es:

Y su Integral definida en , es:

La primita de una Función Vectorial es una familia de Funciones Vectoriales que difieren unas de otras en una constante .
Si es una Función Vectorial en el espacio,entonces al hallar , se obtienen tres constantes de integración: ; , donde , , . Estas tres constantes escalares forman un vector como constante de integración.


Donde .

Movimiento en el Espacio:
Si x, y, z son funciones de t, que tienen primeras y segundas derivadas y es una Función Vectorial dada por: , siendo esta el Vector Posición en el instante t, entonces definimos:
El Vector...