Superficies Cuadricas

Superficies cuadricas

Definición
Una superficie cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio
(x, y, z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo
B x^2+Cy^2+Dz^2+Exy+Fxz+Gyz+Hx+Ly+Mz+N=0
Donde:
B,C,D,E,F,G,H,L,M
Elipsoide
Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y, z) de R^3 que satisfacen a la ecuación de la forma:
x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 =1Donde:
a≠0,b≠0,c≠0,a≠b,a≠c ∨ b≠0
Al graficar un elipsoide se tiene en cuenta:
Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje X,se hace
y=z=0,x=±a ,A_1 (a,0,0),A_2 (-a,0,0)
Con el eje Y, se hace
x=z=0,y=±b,B_1 (0,b,0),B_2 (0,-b,0)
Con el eje Z,se hace
x=y=0,z=±c,C_1 (0,0,c),C_2 (0,0,-c)
Las trazas sobre los planos coordenados
La traza sobre el plano XY, se hace z=0
x^2/a^2+y^2/b^2 =1
La traza sobre el plano XZ, se hace y=0
x^2/a^2 +z^2/c^2 =1
La traza sobre el plano YZ ,se hace x=0
y^2/b^2 +z^2/c^2 =1
Simetrías con respecto al origen ,ejes y planos coordenados.
Sea E: x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 =1,entonces
Con respecto al origen ∃;si (x,y,z)∈E↔(-x,-y,-z)∈E
Con respecto al eje X ∃;si (x,y,z)∈E↔(x,-y,-z)∈E
Con respecto al eje Y ∃;si(x,y,z)∈E↔(-x,y,-z)∈E
Con respecto al eje Z ∃;si (x,y,z)∈E↔(-x,-y,z)∈E
Con respecto al plano XY ∃;si (x,y,z)∈E↔(x,y,-z)∈E
Con respecto al plano XZ ∃;si (x,y,z)∈E↔(x,-y,z)∈E
Con respecto al plano YZ ∃;si (x,y,z)∈E↔(-x,y,z)∈E
Las secciones paralelas a los planos coordenados.
Los planos z=k , corta a la superficie en la curva x^2/a^2 +y^2/b^2 =1-k^2/c^2 , que es una familia de elipses donde -c≤k≤cExtensión de la superficie de x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 =1 , se tiene
z=|c| √(1-x^2/a^2 -y^2/b^2 ) , de donde x^2/a^2 +y^2/b^2 ≤1





Construcción de la superficie


La esfera
Es el lugar geométrico de todos los puntos p(x,y,z) el espacio que equidistan de un punto fijo, la distancia constante se llama radio y el punto fijo centro.
Si en la ecuación del elipsoidex^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 =1 se tiene
a=b=c=R≠0, el elipsoide se transforma en
x^2+y^2+z^2=R^2, que es la ecuación de la esfera de radio R y centro en el origen de coordenadas.
Al graficar la esfera se tiene en cuenta:

Intersecciones con los ejes coordenados
Con el eje X se hace, y=z=0,x=±R,A_1 (R,0,0),A_2 (-R,0,0)
Con el eje Y se hace,
x=z=0,y=±R,B_1 (0,R,0),B_2 (0,-R,0)
Conel eje Z se hace,
x=y=0,z=±R,B_1 (0,0,R),B_2 (0,0,-R)
Las trazas sobre los planos coordenados.
Las trazas sobre el plano XY, se hace z=0
x^2+y^2=R^2, es una circunferencia en el plano XY

La traza sobre el plano XZ se hace y=0.
x^2+z^2=R^2, es una circunferencia en el plano XZ.
La traza sobre el plano YZ se hace x=0.
y^2+z^2=R^2, es una circunferencia en plano YZ.
Simetriascon respecto al origen, ejes y planos coordenados.
La ecuación de la esfera x^2+y^2+z^2=R^2 es simetrica con respecto al origen, a los ejes coordenados y a los planos coordenados.
Las secciones paralelas a los planos coordenados.
Las secciones paralelas lo tomaremos con respecto al plano coordenado XY, es decir, z=k se tiene x^2+y^2+=R^2-k^2, -R≤K ≤R, que es una familia de circunferencias.Teorema
La ecuación de superficie esférica de centro el punto c(h,k,l) y de radio la constante R≥0 es:
〖(x-h)〗^2+(〖y-k)〗^2+(〖z-l)〗^2=R^2


DEMOSTRACIÓN:
Sea p(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera, luego por definición de esfera se tiene:
E={ P(x,y,z)∈R^(3 )⁄(d(p,c)=R})
√(〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2+〖(z-l)〗^2 )=R de donde:
〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2+〖(z-l)〗^2=R^2



OBSERVACION:
Laecuación 〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2+〖(z-l)〗^2=R^2 Se conoce con el nombre de la forma ordinaria de la ecuación de la esfera, si desarrollamos de la ecuación de la esfera se tiene:
x^2+y^2+z^2-2hx-2ky-2lz+h^2+k^2+l^2-R^2=0, de donde se tiene: x^2+y^2+z^2+ Ax+By+Cz+D=0
Luego en la superficie esférica queda determinada por cuatro puntos no coplanares.


Paraboloide elíptico
Es el lugar...