Superficies Definidas A Partir De Curvas Planas

1 SUPERFICIE BILINEAL

Construcci´ n de Superficies Definidas o a partir de Curvas Planas
Rub´ n T. Urbina Guzm´ n e a teourg@hotmail.com Universidad Nacional de Piura

Resumen Este art´culo presenta algunas t´ cnicas para construir superficies defiı e nidas a partir de curvas planas. La primera superficie que se estudia es la superficie bilineal, para la cual solo se requier cuatro puntos. Algeneralizar la superficie bilineal obtenemos las llamada superficies Regladas, frecuentemente usadas en la industria aureonaval. Una caso particular de la superficies regladas son las superficies cilindricas, las cuales se obtiene al desplazar una curva plana siguiendo una trayectoria recta. Otro m´ todo para generar supere ficies es rotando una curva plana alrededor de un eje en el espacio; este tipo desuperficies son llamadas superficies de revoluci´ n. Las superficies Swing o son una generalizaci´ n de las superficies de revoluci´ n, pues en lugar que o o la curva gire alrededor de la circunferencia, lo hace a trav´ s de otra curva e arbitraria.

1.

Superficie Bilineal

Un pol´gono plano es un ejemplo simple de superficie. La superficie bilineal ı es la superficie no plana m´ s simple, porquequeda completamente definida por a cuatro puntos; es decir, es una superficie tensorial donde las curvas producto son dos rectas. Se emplea con frecuencia para la interpolaci´ n de cuatro valores de una tabla o (por ejemplo, en antialiasing de texturas) y es la superficie m´ s sencilla que pasa a 3 por cuatro puntos en R . Sean los cuatro puntos distintos P00 , P01 , P10 y P11 . Las curvas fronterason lineas rectas y son f´ ciles de calcular (Figura 1). a

1

1 SUPERFICIE BILINEAL
P01

P(u0,1) P(u,1)
P11

P(0,w)

P(u0,w) P(1,w) P(u,0)
P10

P00

P(u0,0)

Figura 1: Superficie bilineal Cualquier punto en el interior de la superficie est´ dado por la interpolaci´ n a o lineal entre fronteras opuestas de un cuadrado unitario como se muestra en la figura (2). Esto es, P (u, 0) =(P10 − P00 )u + P00 y P (u, 1) = (P11 − P01 )u + P01

Figura 2: Interpolaci´ n bilineal en el espacio param´ trico o e Para realizar la interpolaci´ n lineal entre las curvas frontera, primeros calcuo lamos los puntos P (u0 , 0) y P (u0 , 1) y luego los unimos mediante una linea recta P (u0 , w). Los dos puntos son P (u0 , 0) = (P10 − P00 )u0 + P00 y P (u0 , 1) = (P11 − P01 )u0 + P01

2

1SUPERFICIE BILINEAL

y la linea recta que los une esta dada por P (u0 , w) = (P (u0 , 1) − P (u0 , 0))w − P (u0 , 0) [ ( )] = (P11 − P01 )u0 + P01 − (P10 − P00 )u0 + P00 w + (P10 − P00 )u0 + P00 a Cuarquier punto en el interior del cuadrado parametrico, est´ dado por P (u, w) = P00 (1 − u)(1 − w) + P01 (1 − u)w + P10 u(1 − w) + p11 u w En forma matricial [ ][ ] [ ] P00 P01 1 − w P (u, w) = 1 − u uw P10 P11 (1)

(2)

Es necesario que la superficie coincida con los puntos dados. Es facil verificar que la superficie interpola los puntos dados. Si los puntos de definici´ n de una superficie bilineal, son las diagonales opueso tas sobre caras opuestas de un cubo unitario, la superficie resultantes es un paraboloide hiperb´ lico. Es decir, matematicamente una superficie bilineal es un paoraboloide hiperb´ lico. Las expresiones parametricas son lineales respecto a las o variables u y w.

Figura 3: (Izquierda) Cubo unitario mostrando los puntos a interpolar; (derecha) Superficie bilineal resultante: Paraboloide hiperb´ lico o Si consideramos los puntos ubicados en un [cubo unitario, como se mues[ ] ] [ ] tra en [ figura ](3): P00 = 1 0 0 , P01 = 0 1 0 , P10 = 0 0 1 y la P11 = 1 1 1 , lainterpolaci´ n de los puntos genera un paraboloide hiperb´ lio o co. Sustituyendo los puntos dados en la ecuaci´ n (1), tenemos o 3

2 SUPERFICIES REGLADAS

[ ] [ ] P (u, w) = 1 0 0 (1 − u)(1 − w) + 0 1 0 (1 − u)w [ ] [ ] + 0 0 1 u(1 − w) + 1 1 1 u w cuya ecuaci´ n es o [ ] P (u, w) = 1 − w + u(2w − 1) w u

2.

Superficies regladas

Las superficies reglas son frecuentemente usadas en la...