Curvas y Superficies

Gráficas en ℝ 𝟑
Planos
La representación gráfica en el espacio tridimensional de la ecuación lineal de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 +
𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 donde 𝐴, 𝐵, 𝐶, y 𝐷 son constantes.
Ejemplos:

a) 6𝑥 + 3𝑦 +2𝑧 = 12
𝑥 𝑦 𝑧
+ + =1
2 4 6

c) 𝑥 + 𝑦 = 5

b) 𝑥 + 4𝑧 = 4
𝑥
4

+ 𝑧=1

d) 𝑧 = 5

Superficies cilíndricas:
Una superficie cilíndrica es la gráfica en ℝ 𝟑 de una ecuación no lineal con ausenciade una de las
variables.

Ejemplos:
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜

𝑥2 + 𝑦2 = 4

𝑧 = 𝑥2

𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑥 2 + 4𝑧 2 = 16
𝑥2
𝑧2
+ =1
16 4

Superficies cuadráticas:
Hayseis tipos básicos de superficies cuadráticas o cuádricas cuya fórmula general es 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 +
𝐶𝑧 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹𝑧 + 𝐺 = 0
Elipsoide:

(𝑥−ℎ)2
𝑎2

+

(𝑦−𝑘)2
𝑏2

+

(𝑧−𝑙)2
𝑐2

=1Hiperboloide de una hoja:

(𝑥−ℎ)2
𝑎2

+

(𝑦−𝑘)2
𝑏2

−

(𝑧−𝑙)2
𝑐2

= 1.

Nota: El eje al que corresponde el hiperboloide es aquel cuyo coeficiente es negativo.

Hiperboloide de doshojas: −

(𝑥−ℎ)2
𝑎2

−

(𝑦−𝑘)2
𝑏2

+

(𝑧−𝑙)2
𝑐2

=1

Nota: El eje al que corresponde el hiperboloide es aquel cuyo coeficiente es positivo.

.
Cono elíptico:

(𝑥−ℎ)2
𝑎2

+(𝑦−𝑘)2
𝑏2

Paraboloide elíptico: 𝑧 − 𝑙 =

−

(𝑧−𝑙)2
𝑐2

𝑥−ℎ 2
𝑎2

Paraboloide hiperbólico: 𝑧 − 𝑙 = −

+

=0

𝑦−𝑘 2
𝑏2

𝑥−ℎ 2
𝑎2

+

𝑦−𝑘 2
𝑏2

Ejemplos de repaso:
Describir ydibujar la superficie.
a)

𝑦 = 5 (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜)

b) 4𝑥 2 − 4𝑦 + 𝑧 2 =

0 (𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜)
4𝑥 2 +𝑧 2 = 4𝑦
𝑥2 +

c)

𝑥2
9

𝑦2

+ 16 +

𝑧2
9

= 1 (𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑜𝑖𝑑𝑒)

d)

𝑦=

𝑧2
= 𝑦4

𝑦2 =
4𝑥 2 + 9𝑧 2 (𝑀𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜)
𝑥2
𝑧2
+
1
1
4
9

e)

𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧 =
0 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜

𝑥2 − 𝑦2 = 𝑧

g)

𝑥 2 − 𝑦 = 0 (𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑐𝑜)
𝑥2 = 𝑦

f)

16𝑥 2− 𝑦 2 − 𝑧 2 = 1
(𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑜𝑗𝑎𝑠)
𝑥2
− 𝑦2 − 𝑧2 = 1
1
16

h) 9𝑥 2 + 𝑦 2 − 9𝑧 2 − 54𝑥 − 4𝑦 − 54𝑧 +

4=0
9 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4
− 9 𝑧 2 + 6𝑧 + 9
= −4 + 4 + 81 − 81...