Suseciones Infinitas

Sucesiones Infinitas: Una serie es, informalmente hablando, la suma de los términos de una secuencia . secuencias finitas y series han definido términos primero y el último, mientras que las secuencias infinitas y series continuar indefinidamente
En matemáticas , dada una infinita sucesión de números {a n}, una serie es informalmente el resultado de sumar todos los términos: a 1 ​​+ a 2 + a 3 +· · ·. Estos pueden ser escritos de forma más compacta mediante el sumatorio Σ símbolo. Un ejemplo es la famosa serie de dicotomía de Zenón y su representación matemática :

Los términos de la serie se producen a menudo de acuerdo con una regla determinada, tal como mediante una fórmula , o por un algoritmo . Como hay un número infinito de términos, esta noción a menudo se llama una serieinfinita. A diferencia de sumas finitas, las series infinitas necesitan herramientas de análisis matemático , y específicamente la noción de límites , para ser plenamente comprendidos y manipulados. Además de su ubicuidad en las matemáticas, las series infinitas son también ampliamente utilizados en otras disciplinas cuantitativas, como la física, la informática y las finanzas.
Definición
Paracualquier secuencia de números racionales , números reales , números complejos , funciones de los mismos, etc, la serie asociada se define como la ordenada suma formal de
.
La secuencia de sumas parciales asociada a una serie se define para cada como la suma de la secuencia de a

Por definición, la serie converge a un límite si y sólo si la secuencia de sumas parciales asociada converge a .Esta definición se suele escribir como

Más generalmente, si es una función de un conjunto de índices I a un conjunto G, entonces la serie asociada a es la suma formal de los elementos sobre los elementos de índice denotado por el

Cuando el conjunto de índices es los números naturales , La función es una secuencia denota por . Una serie indexada en los números naturales es una suma ordenada yformal, por lo que volver a escribir como con el fin de enfatizar el orden inducido por los números naturales. Así, se obtiene la notación común para una serie indexada por los números naturales

Cuando el conjunto es un semigrupo , la secuencia de sumas parciales asociada a una secuencia se define para cada como la suma de la secuencia de a

Cuando el semigrupo También es un espaciotopológico , entonces la serie converge a un elemento si y sólo si la secuencia de sumas parciales asociada converge a . Esta definición se suele escribir como

serie convergente
Una serie Σ a n se dice que " convergen "o" ser convergente 'N cuando la secuencia de sumas parciales S tiene un número finito límite . Si el límite de S N es infinito o no existe, la serie se dice que diverge . Cuando ellímite de sumas parciales existe, se llama la suma de la serie

Una manera fácil de que una serie infinita puede converger es si todos los n son cero para un n suficientemente grande. Dicha serie puede ser identificado con una suma finita, por lo que es infinito en un sentido trivial.
Elaboración de las propiedades de la serie que convergen aunque términos infinitamente muchos son no-cero esla esencia del estudio de la serie. Considere el ejemplo

Es posible "visualizar" su convergencia en la recta real : podemos imaginar una línea de longitud 2, con sucesivos segmentos delimitados de longitudes de 1, ½, ¼, etc Siempre hay lugar para marcar el siguiente segmento, ya que el importe de la línea restante es siempre el mismo que el último segmento marcado: cuando hemos delimitado ymedio, todavía nos queda un trozo de longitud media sin marcar, lo que sin duda puede marcar el ¼ siguiente. Este argumento no prueba que la suma es igual a 2 (aunque lo es), pero sí demostrar que es a lo sumo 2. En otras palabras, la serie tiene un límite superior. Demostrar que la serie es igual a 2 requiere sólo álgebra elemental, sin embargo. Si la serie se denota S, se puede observar que...