Técnica de integración de expresiones racionales

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TÉCNICA DE INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES AUTOR: LEOPOLDO RAÚL CANO RIVERA
 Introducción

Para poder integrar una fracción racional por la técnica de descomposición de fracciones parciales es necesario saber factorizar, primero que nada, razón por la cuál iniciaremos este tema con un repaso del tema.
 Factorización
3x  1  Pararesolver una integral del tipo   2  dx es importante tomar en cuenta que

el denominador del integrando, la expresión x2 – x – 6, puede ser factorizada (representada en factores). Para ello recordemos que hay binomios y trinomios que pueden ser factorizados como se ve en el cuadro siguiente:
Las expresiones algebraicas: Suma o diferencia de Binomios términos Diferencia de cuadrados perfectos Sumao diferencia de cubos perfectos Cuadrado perfecto Trinomios De la forma x2 + bx + c De la forma ax2 + bx + c Número de caso: [1] [2] [3] [4] [5] [6] Se factorizan como: Producto de monomio por un polinomio (factor común monomio) Producto de dos binomios conjugados Producto de un binomio por un trinomio Binomio al cuadrado Producto de dos binomios con un término común Producto de dos binomiosdiferentes

 x  x 6

Veamos un ejemplo de cada una:  Factorizar la expresión x3 – 5x2 – 6x (Casos [1] y [5]) . Podemos observar que todos los elementos de la expresión contienen por lo menos a x como factor común, por lo tanto procedemos a dividir cada elemento entre x quedando la división de cada elemento entre x de la siguiente forma: X3/x = x2; - 5x2/x = - 5x; - 6x/x = - 6 Por lo tanto lafactorización quedaría como:
 X – 5x – 6x = x(x – 5x – 6) = x(x – 3)(x – 2).
3 2 2

2

 Factorizar la expresión 16 – x2 (Caso [2]). Dado que los términos anteriores son cuadrados perfectos, tienen las raíces cuadradas enteras siguientes:
2 16  4 ; x  x

Para factorizar la expresión separamos las raíces anteriores por signos de + y de -, quedando los binomios conjugados de lasiguiente manera:
 16 – x = (4 – x)(4 + x).
2

 Factorizar la expresión x9 – 27x3 (Casos [1] y [3]). Aplicando el procedimiento anterior para sacar el factor común x3 obtenemos: X9/x3 = x9 – 3 = x6; 27x3/x3 = 27
 x – 27x = x (x – 27)
9 3 3 6

Esta nueva expresión representa una diferencia de cubos perfectos porque ambos términos tienen raíz cúbica exacta:
3

x  x  x ; 27  3  3  31  36 2 3 3 3

6 3

3 3

Por consiguiente la factorización del cubo perfecto quedaría como se realiza a continuación1: x6 – 27 = (x2 – 3)(x4 + 3x2 + 9) Finalmente, la factorización completa quedaría como:
 x – 27x = x (x – 3)(x + 3x + 9)
9 3 3 2 4 2

 Factorizar la expresión x3 – 8x2 + 16x (Casos [1] y [4]). Sacando a x como factor común se obtiene: x3/x = x2; - 8x2/x = - 8x; 16x/x = 16La factorización de una diferencia de cubos perfectos se enuncia como sigue: “sepárense las raíces cúbicas por un signo – entre ellas. Después multiplíquese el binomio formado, por el cuadrado de la primera raíz más el producto positivo de las raíces y súmese finalmente el cuadrado de la segunda raíz”.
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3

 x – 8x +16x = x(x – 8x + 16)

3

2

2

El trinomio resultante de ladivisión es un trinomio cuadrado perfecto porque cumple con las siguientes condiciones: a) El primero y tercer términos son positivos y por lo tanto sus raíces son números reales. b) Ambos términos tienen raíz cuadrada entera. c) El doble producto de las raíces cuadradas equivale al segundo término de trinomio cuadrado perfecto.

x2  x ; 16  4 ; 2(x)(4) = 8x
Como se cumplen las tres condiciones antesestablecidas, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado en la forma2: x2 - 8x + 16 = (x – 4)2. La expresión original, una vez factorizada completamente, queda finalmente como sigue: 3 2 2 2  x – 8x – 16x = x(x – 8x + 16) = x(x – 4)  Factorizar la expresión x2 + 3x – 10 (Caso [5]). Para factorizar la expresión nos apegaremos al procedimiento siguiente: a) Sacar la...