T4_VAleatoria

TEMA 4: VARIABLES ALEATORIAS
 Variables aleatorias
 Continuas
 Discretas

 Características de una variable aleatoria





Esperanza matemática de una variable aleatoria
Momentos de una variable aleatoria
Mediana de una variable aleatoria
Cuantiles de una variable aleatoria

 Principales variables aleatorias
 Discretas
 Continuas

 Teorema Central del Límite

1

VARIABLES ALEATORIASUna Variable aleatoria es una función que representa el resultado de
un experimento aleatorio:
𝑋: Ω → ℝ
Ejemplos:
• Variable que toma el valor 1 si el cliente paga la deuda y cero en el
otro caso.
• Variable que mide el tiempo que tarda un cliente en pagar su hipoteca.
• Variable que mide la variación del IPC

• Variable que mide el tiempo de espera en una ventanilla

2

Las variables pueden tomaruna cantidad finita de valores
distintos (0 o 1, si o no, etc.) o una cantidad no finita que se mide
dentro de los valores de un intervalo (p. e. tiempo). Esto nos lleva
a tener dos tipos de variables:

 VARIABLES DISCRETAS: variables que toman una cantidad
finita de valores distintos.
 VARIABLES CONTINUAS: variables que toman valores
dentro de un intervalo.

3

Ejemplo:
Consideramos elexperimento aleatorio de lanzar dos dados.

El espacio muestral es Ω = {(1,1), (1,2), … . (6,5), (6,6)}
El tamaño del espacio muestral viene determinado por 𝑉𝑅6,2 = 62 = 36
Nos interesa medir la variable aleatoria
𝑋 = "Máximo de las tiradas"

X puede tomar los valores: 1,2,3,4,5,6
P(X=1)=P(salga (1,1))=1/36
P(X=2)=P(salga (1,2) o (2,1) o (2,2) )=3/36

P(X=3)=P(salga (1,3) o (3,1) o (3,2) o (2,3) o (3,3))=5/36
P(X=4)=P(salga (4,1) o .. o (4,4) )=7/36
P(X=5)=P(salga (5,1) o .. o (5,5) )=9/36

P(X=6)=P(salga (6,1) o .. o (5,6) )=11/36
4

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

 Toman una cantidad finita de valores distintos,
DX = {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }
 Cada valor tiene una probabilidad (entre 0 y 1) asociada.
0 ≤ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 ≤ 1
∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛
 La suma de todas las probabilidades debe de ser 1.
𝑛

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖= 1
𝑖=1

 Además tienen que verificar:
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 para cualquier suceso 𝐴 ∈ Ω.

𝑃 𝐴 =
𝑥𝑖 ∈𝐴

La función que asigna a cada valor 𝑥𝑖
su probabilidad
correspondiente 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ), se le conoce como FUNCIÓN DE MASA
DE PROBABILIDAD.
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Ejemplo:
Tenemos 30 clientes del banco de los que conocemos el número de
préstamos personales que han tenido en los últimos 10 años. Los datos
están en la siguientetabla
Préstamos

1

2

3

4

Nº Clientes

7

13

4

6

Frec. relativa
Si en lugar de conocer la frecuencia relativa, suponemos que ésta es la
probabilidad, es decir la probabilidad de haber tenido un solo préstamo
es 7/30, y así sucesivamente, damos lugar a una variable aleatoria
discreta que toma los valores 1, 2, 3 y 4 con probabilidades.
𝒙𝒊

1

2

3

4

𝑝𝑖
Estas probabilidades toman valorespositivos y suman uno.
6

Para calcular probabilidades de un conjunto de valores de una variable
aleatoria discreta sólo hay que sumar las probabilidades de los puntos
que están en ese conjunto.
Ejemplo.
 Con los datos del ejemplo anterior, la probabilidad de que tuviera
tres préstamos personales:
4
𝑃 𝑋=3 =
.
30
 Probabilidad de que tuviera más de dos préstamos
10
𝑃 𝑋 >2 =𝑃 𝑋 =3 +𝑃 𝑋 =4 =
.
30
Otambién,
𝑃 𝑋 >2 =1−𝑃 𝑋 ≤2 =1− 𝑃 𝑋 =1 +𝑃 𝑋 =2

= 1−

20 10
=
.
30 30

7

Función de Distribución
La Función de Distribución de una variable aleatoria es una función
que está definida en toda la recta real y que calcula la probabilidad de
que la variable tome un valor menor o igual que el punto, es decir:

𝐹: ℝ →
𝑥 →

0,1
𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥

Además, verifica que,
1. 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1
∀𝑥 ∈ℝ
2. 𝐹 es creciente
3. 𝑃 𝑋 > 𝑥= 1 − 𝐹 𝑥
∀𝑥 ∈ ℝ
Si la variable aleatoria es discreta se cumple:
𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 =

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
𝑥𝑖 ≤𝑥

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Ejemplo: En el ejemplo anterior, ¿Cuál es la probabilidad de que un
cliente tuviera como mucho 3 créditos?
Además, la gráfica de su función de masa de probabilidad es:
xi

pi

1

7/30

2

13/30

3

4/30

0,30

4

6/30

0,25

0,45
0,40
0,35

0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
1

2

3

4

Cada valor de la...