T4

Tema 4. Moviments curvilinis en dues dimensions.

Tema 4. Moviments curvilinis en dues dimensions.
No sempre les partícules descriuen moviments rectilinis. En realitat sempre les partícules
es mouen descrivint trajectòries curvilínies en tres dimensions. En aquest capítol però
només estudiarem els moviments curvilinis en dues dimensions, concretament:
-

El tir parabòlic.
El moviment circular.
oEl moviment circular uniforme.
o El moviment rectilini uniformement accelerat.

4.1.El tir parabòlic.
Quan llanceu un objecte verticalment tothom té clar que aquest descriu una trajectòria
vertical. Però quan el llancem obliquament veiem que descriu una trajectòria plana i corba.
Aquest és el cas del tir parabòlic. Les variables característiques per l’estudi del tir
parabòlic són:
-

La velocitatinicial ( v0 ).
L’angle de llançament ( α )
La posició inicial del llançament. ( x0 , y0 ).

α
y0

x0
Si un observa l’ombra de la partícula sobre el terra, veurà que es mou en línia recta i a
velocitat constant. Per altre banda si observeu frontalment el moviment de la partícula
veureu que descriu un moviment de caiguda lliure.
Per tant el tir parabòlic es pot descompondre en dos moviments:
-

Unmoviment rectilini uniforme ( en la direcció horitzontal.)
Un moviment rectilini uniformement accelerat ( caiguda lliure ) en la direcció
vertical.

Així les equacions que descriuen el moviment són:

1
Per Roger Mauricio Grañó

Tema 4. Moviments curvilinis en dues dimensions.

 x = xo + v0 x ·t

POSICIÓ :

1 2
 y = y 0 + v0 y ·t − 2 g ·t
On la velocitat inicial s’ha de descompondre encomponents v0x = v0·cos α i v0y = v0·sin α
v X = v xo
VELOCITAT: 
v y = v0 y − g ·t
ACCELERACIÓ:

a X = 0

a y = − g

Observeu que l’acceleració és negativa ja que apunta cap avall.
Exemple 5. Un canó dispara un projectil amb una velocitat de 200 m/s. L’angle de tir és de
30º. El canó està situat a terra.
a) Escriviu les equacions que descriuen el tir parabòlic.
b) Quina és la posició i lavelocitat del projectil quan el temps val 5 s?
c) En quin instant de temps el projectil arribarà a terra?

•

L’abast màxim.

Entenem per abast màxim la distància horitzontal mesurada des del punt de partida de la
partícula fins que aquesta arriba a terra.
Com que normalment en tots els problemes considerem que l’altura corresponent al terra
és y = 0, aquesta és la condició que hem d’imposar perdeterminar l’abast màxim.
Procedirem sempre així:
1. y = 0
2. Substituirem aquesta condició a l’equació de la posició vertical i determinarem el temps.
Aquest és el temps que trigarà la partícula en arribar a terra.
3. Substituirem el temps a l’equació de la posició horitzontal per determinar l’abast màxim.
•

L’altura màxima.

Entenem per altura màxima la distància vertical més gran que hi ha entre lapartícula i el
terra. Observeu que el punt de màxima altura serà aquell on la vy és nul·la. Per determinarla procedirem de la següent manera.
1. vy = 0
2. Substituirem aquesta condició a l’equació de la velocitat vertical i determinarem el
temps. Aquest és el temps que trigarà la partícula en arribar a la màxima altura.
3. Substituirem el temps a l’equació de la posició vertical per determinarl’altura màxima.
2
Per Roger Mauricio Grañó

Tema 4. Moviments curvilinis en dues dimensions.

Exemple 6. Un canó dispara un projectil amb una velocitat de 200 m/s. L’angle de tir és de
30º. El canó està situat a terra. Determineu l’abast màxim i l’altura màxima.

•

L’equació de la trajectòria.

L’equació de la trajectòria és una expressió de la forma y = f(x). Per determinar-la
prendrem les equacionsde la posició en funció del temps.
 x = xo + v0 x ·t


1 2
 y = y 0 + v0 y ·t − 2 g ·t
Aïllarem el temps de la primera i el substituirem a la segona. També si considerem les
equacions de les velocitats inicials v0x = v0·cos α i v0y = v0·sin α ens quedarà...

 x − x0  1  x − x0 

 − g 
y = y 0 + v0 ·sinα 
 v0 ·cos α  2  v0 ·cos α 

2

desenvolupant els quadrats de l’equació...