Taller cálculo de límites

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TALLER DE MATEMATICAS TEMA: LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. Calcular, si existe, el valor de cada límite: a) Lím
x 2 −1 x→ 1 x −1 ( x +1)( x −1) ( x +1) Lím = = x +1 = 1 +1 = 2 x →1 x −1 1
Lím
x→ 1

x 2 −1 =2 x −1

b) Lím
x→ 1

Lím
x→ 1

( x + 2)( x −1) x + 2 1 + 2 3 = = = ( x +1)( x −1) x +1 1 +1 2
x2 + x −2 3 = x 2 −1 2

x2 + x − 2 x 2 −1

Lím
x→ 1

c) Lím x→4
Lím
x →4

x −4 11 1 = = = ( x + 4)( x − 4) x + 4 4 + 4 8
x −4 1 = x 2 −16 8

x −4 x 2 −16

Lím
x→ 4

1 1 − d) Lím x + 5 5 x→0 x 5 − ( x + 5) 5 − x − 5 −x −x −1 −1 −1 −1 1 (5)( x + 5) Lím = 5 x + 25 = 5 x + 25 = = = = = =− x→0 x x x ( x)(5 x + 25) 5 x + 25 5(0) + 25 0 + 25 25 25 1
1 1 − 1 Lím x + 5 5 = − x→0 x 25

3 x 2 −13 x −10 e) Lím x →5 2 x 2 − 7 x −15 3(3 x 2 − 13 x − 10 ) (9 x) 2 − 13(3 x) − 30(3x − 15)(3x + 2) ( x − 5)(3x + 2) 3x + 2 3 3 3 Lím = = = = 2 2 x → 5 2( 2 x − 7 x − 15 ) ( 2 x − 10)( 2 x + 3) ( x − 5)( 2 x + 3) 2 x + 3 ( 4 x) − 7(2 x) − 30 2 2 2
Lím
x →5

3(5) + 2 15 + 2 17 = = 2(5) + 3 10 + 3 13

Lím
x→ 5

3 x 2 −13 x −10 17 = 2 x 2 − 7 x −15 13

f) Lím

x 2 +1 x →−1 x +1 (−1) 2 + 1 − 1 + 1 0 Lím = = = INFINITO x →1 −1 + 1 0 0
Lím
x →−1

x 2 +1 = INFINITO x+1

 x2 1   Lím  − g) x →1    x −1 x −1 

Lím
x →1

x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1) = = = x +1 = 1 +1 = 2 x −1 x −1 1

 x2 1   =2 L  ím − x→  x − 1 1 x −1   

h)

x +3 1 1 + x 3 x +3 ( x + 3)(3 x) Lím 1 = = 3 x = 3(−3) = −9 x →−3 x + 3 x +3 3x Lím
x→ 3 −

Lím

x→ 3 −

x +3 = −9 1 1 + x 3

i)

Lím
x →2

Lím
x →2

( x − 2)( x + 1) x +1 2 +1 3 = = = =INFINITO ( x − 2)( x − 2) x − 2 2 − 2 0
x 2 −1 = IN FINITO x −1

x2 − x − 2 x 2 − 4x + 4

Lím
x→ 2

j)

( x − 1) 5 x→ 1 x 5 −1 x 5 − 5 x 4 + 10 x 3 − 10 x 2 + 5 x − 1 Lím = −5 x 4 + 10 x 3 − 10 x 2 + 5 x = −5(14 ) + 10(13 ) − 10 (12 ) + 5(1) 5 x →1 x −1 Lím − 5(1) + 10(1) − 10(1) + 5(1) = −5 + 10 − 10 + 5 = 0 Lím
x →1

Lím
x→ 1

( x −1) 5 =0 x 5 −1

k) Lím

x →−2

x3 + 8 x 4−16

Lím

x →−2

( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) (−2) 2 − 2(−2) + 4 x 2 − 2x + 4 4+4+4 12 3 = = = = = = 2 2 2 ( x − 2)( x + 2)( x + 4) ( x − 2)( x + 4) (−2 − 2)(( −2) + 4) (−4)(( 4 + 4) − 32 − 8
x 3 +8 3 =− x 4 −16 8

Lím

x→ 2 −

l)

Lím
x →2

x 4 − 16 x2 − x − 2
( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) ( x + 2)( x 2 + 4) ( 2 + 2)( 2 2 + 4) (4)( 4 + 4) ( 4)(8) 32 = = = = = ( x − 2)( x + 1) x +1 2 +13 3 3
x 4 −16 32 = 3 x2 − x −2

Lím
x →2

Lím
x →2

m) Lím 1
x→ 2

8x 3 − 1 2x − 1
2

( 2 x − 1)(4 x 2 + 2 x + 1) 1 1 1 Lím = 4 x 2 + 2 x + 1 = 4  + 2  + 1 = 4  + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 1 2x − 1 x→  2  2  4 2
Lím
1 x→ 2

8x 3 − 1 =3 2x − 1

n) Lím

(a + x) 4 − a 4 x →0 x 4 a + 4ax 3 + 6a 2 x 2 + 4a 3 x + a 4 − a 4 a 4 + 4ax 3 + 6a 2 x 2 + 4a 3 x x( a 4 +4ax 3 + 6a 2 x 2 + 4a 3 x ) Lím = = x →0 x x x

Lím = a 4 + 4ax3 + 6a 2 x 2 + 4a 3 x = a 4 + 4a( a)3 + 6a 2 (a ) 2 + 4a 3 (a) = a 4 + 4a 4 + 6a 4 + 4a 4 = 15a 4
x→ 0

L ím

x→ 0

( a + x ) 4 −a 4 =15 a 4 x

2. Hallar el límite de cada función, racionalizando el denominador o el numerador según corresponda: a) Lím
x →0

3+x − 3 x ( 3 + x − 3 )( 3 + x + 3 ) 3 + x −3 x 1 Lím = = x →0 (x)( 3 + x + 3 ) ( x)( 3 + x + 3 ) ( x )( 3 + x + 3 ) 3+x + 3
Lím
x →0

1 3 +0 + 3

=

1 3+ 3

=

1 2 3

=

(1)( 3 ) (2)( 3 )( 3 )

=

3 3 = (2)( 3) 6

L ím
x→ 0

3 +x − 3 3 = x 6

b) Lím
x→ 3

x +1 − 2 x −3
( x +1 − 2)( x +1 + 2) ( x − 3)( x +1 + 2) = x +1 − 4 ( x − 3)( x +1 + 2) = x −3 ( x − 3)( x +1 + 2) = 1 x +1 + 2

Lím
x→ 3

Lím
x →3

1 = 3 +1 + 2
x +1−2 1 = x −3 4

1 1 1 = = 2+2 4 4 +2

L ím

x→ 3

c) Lím
x →0

4 − 16 − x x
(4 − 16 − x )( 4 + 16 − x ) ( x)( 4 + 16 − x ) = 16 −16 − x ( x)( 4 + 16 − x ) = −x ( x)( 4 + 16 − x ) = −1 4 + 16 − x

Lím
x→ 0

Lím
x →0

−1 −1 −1 −1 1 = = = =− 8 8 4 + 16 − 0 4 + 16 4 + 4
4 − 16 − x 1 =− x 8

L ím

x→ 0

d) Lím
x →0

Lím
x →0

1− 1− x2 x (1 − 1 − x 2 )(1 + 1 − x 2 )
2...
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