taller Calculo 1 UDLA

Función Cuadrática
Cecilia Herrera Cruz
Instituto de Matemáticas, Física y Estadística

Índice
1. Función cuadrática
1.1. Para comenzar la sección . . .
1.2. De…nición . . . . . . . . . . . .
1.3. Concavidad . . . . . . . . . . .
1.4. Discriminante . . . . . . . . . .
1.5. Intersección con los ejes . . . .
1.5.1. Intersección con el eje X
1.5.2. Intersección con el eje Y
1.6. Vérticede una parábola . . . .
1.6.1. Eje de simetría . . . . .
1.7. Crecimiento y Decrecimiento de
1.8. Para …nalizar la sección . . . .

1

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una función
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.. . . . . .
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cuadrática
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2
2
2
2
3
5
5
5
5
5
6
6

1.

Función cuadrática

1.1.

Para comenzar la sección

Las arterias son las encargadas de llevar sangreoxigenada y nutrientes a
distintos órganos del cuerpo. Según su cercanía al corazón cambia la constitución
de su pared, las más cercanas a él tienen predominio de su tejido elástico y en los
más alejados aumenta la proporción de …bras musculares. Los biólogos después
de variados estudios determinaron que la velocidad de la sangre en una arteria
depende de la distancia de la sangre al ejecentral de la arteria.
De acuerdo con la Ley de Poiseuille, la velocidad V (en cm/seg) de la sangre
que está a r cm. del eje central de una arteria está dada por la función: V (r) =
C R2 r2 ; C es una constante y R es el radio de la arteria.
Suponga cierta arteria en la cual la constante C = 1; 76 105 y R =
1; 2 10 2 cms. Calcule la velocidad de la sangre en un punto medio entre la
pared de laarteria y el eje central.

1.2.

De…nición

Toda función de la forma f (x) = ax2 + bx + c; a; b; c 2 R; a 6= 0 se llama
función cuadrática.
p
La expresión ax2 es el término cuadrático, bx es el término lineal y
c es el término independiente.
p
p El dominio de esta función son todos los números reales.
Su grá…ca corresponde a una curva simétrica llamada parábola, que
cumple lassiguientes condiciones:

1.3.

Concavidad

p

Si a > 0 la concavidad de la parábola es hacia arriba
Ejemplo:
:

2

y 50
40

30

20

10

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

3

4

5

x

p

Si a < 0 la concavidad de la parábola es hacia abajo
Ejemplo:

-5

-4

-3

-2

-1

1

y

2

x

5

-10

-20

-30

-40

1.4.Discriminante

Recordemos que cuando se estudiaron las ecuaciones de segundo grado, se
analizó su importancia en base a las soluciones de la ecuación. Pero el discriminante nos entrega más información.
3

p
2
4ac
p Recordemos que se de…ne como la cantidad subradical = b
Si > 0 entonces la parábola intersecta en dos puntos distintos al eje X.
Ejemplo:
En la función f (x) = x2 + x 6;
> 0:Surepresentación grá…ca es:
24

y 22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-5

-4

-3

-2

-1

1

-2

2

3

4

5

x

-4
-6

p

Si = 0 entonces la parábola intersecta en un sólo punto al eje de las X.
Ejemplo:
En la función f (x) = x2 + 4x + 4;
= 0:Su representación grá…ca es:

y

50

40

30

20

10

-5

-4

-3

-2

-1

0

4

1

2

3

45

x

p

Si < 0 entonces la parábola no intersecta al eje de las X.
Ejemplo:
En la función f (x) = 4x2 + 4x + 5;
< 0:¿
Cómo sería su representación
grá…ca?

1.5.
1.5.1.

Intersección con los ejes
Intersección con el eje X

Para hallar los puntos en que la parábola corta al eje X, debemos buscarlos
algebraicamente haciendo f (x) = y = 0 en la función f (x) = ax2 + bx + c,...