Taller calculo

TALLER NUMERO 5 ´ CALCULO III 30 DE SEPTIEMBRE 2010.

(1) Dibujar cada una de las curvas indicadas a continuaci´n y calcular su longitud o en el intervalo dado. En cada tiempo t, determine laecuaci´n de la recta o tangente.Determine los vectores tangente y normal unitario. Determine la ecuaci´n del plano osculador. o (a) r (t) = 2ti − 3tj + tk, t ∈ [0, 2]. (b) r (t) = b cos ti − bsentj + atk,t ∈ [0, π ]. 2 (c) r (t) = (cos t + t sent) i − (sent − t cos t)j + t2 k, t ∈ [0, π ]. 2 (2) Para cada una de las siguientes curvas hallar la curvatura en cada tiempo t. Determine las componentestangencial y normal del vector aceleraci´n. o (a) (b) (c) (d) (e) r (t) = a cos ωti − asenωtj. r (t) = 4ti − 4tj + 2tk. r (t) = ti − t2 j + 2t2 k. r (t) = et cos ti + et sentj + et k. r (t) = ati − b costj + bsentk.

(3) Cuando menor es la curvatura en un giro de carretera, a mayor velocidad puede ser recorrida por los veh´ ıculos. Supongamos que la velocidad m´xima a en una curva es inversamenteproporcional a la ra´ cuadrada de la curvatura. ız Un veh´ ıculo que viaja por la trayector´ ıa 1 y = x3 3 x e y son medidos en millas, puede ir a hasta 30 millas /hr en el punto 1, 1 3 ¿A qu´velocidad puede ir en el punto 3 , 8 ? e 2 9 (4) Dos vectores unitarios fijos u y v forman un ´ngulo θ, 0 ≤ θ ≤ π. Una a part´ ıcula se mueve sobre una curva de manera que su vector posici´n r(t) y o el vectorvelocidad v(t) est´n relacionados por la ecuaci´n v (t) = u × r (t). a o

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Si r (0) = v, verifique que la curva tiene curvatura constante y calcular en funci´n de θ. o (5) Un punto semueve en el espacio seg´n la ecuaci´n vectorial u o r (t) = 4 cos ti + 4sentj + 4 cos tk, (a) Probar que la trayectoria es una elipse y hallar la ecuaci´n del plano o que contiene dicha elipse. √ 3/2 (b)Probar que el radio de curvatura es ρ (t) = 2 2 (1 + sen2 t) . (6) Si dos curvas de ecuaciones cartesianas y = f (x) e y = g (x) son tangentes en el punto (a, b) y tienen la misma curvatura en este...