Taller Integrador

Exacta

La sencilla ecuación y dx +xdy=0 es separable, pero también equivale a la diferencial del producto de x por y; esto es:

Al integrar obtenemos de inmediato la solución implícita xy=cEn calculo diferencial el lector debe recordar que si z=f(x,y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, su diferencial es:

Entonces si f(x,y)=c, deacuerdo con:

Una ecuación diferencial M(x,y) +N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de algunas funciones f(x,y). Una ecuación diferencial deprimer orden de la forma:

Es una ecuación diferencial exacta ( di ferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
Criterio para una ecuaciónexacta
Sean continuas M(x,y) y N(x,y) con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a< x <b, c< y< d. Entonces, la condición necesaria y suficiente para queM(x,y)dx+ N(x,y)dy sea una diferencial exacta es que:

Para simplificar supongamos que M(x,y) y N(x,y) tienen derivadas parciales continuas en toda (x,y). Si la expresión M(x,y)dx+ N(x,y)dy dy esexacta, existen una función f tal que, para todo x de R

En consecuencia:

Y

La iguldad de las derivadas parciales mixtas es consecuencia de la continuidad de las primeras derivadas parcialesde M(x,y) y N(x,y)
Dada una ecuación de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy =0, se determina si es válida la igualdad. En caso aditivo, existe una función para la cual:

Sustitución

El primero paso estransformar en otra ecuación diferencial mediante sustitución. Por ejemplo supongamos que se quiere transformar la ecuación de primer orden dy/dx=f(x,y) con la sustitución y=g(x,u), en que u seconsidera función de la variable x. si g tiene derivadas parciales entonces, la regla de la cadena da,

Al sustituir dy/dx con f(x,y) y y cong(x,u) en la derivada anterior, obtenemos la nueva ecuación...