Taller Matemáticas

LECCIÓN

CONDENSADA

12.1

Razones trigonométricas

En esta lección
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Conocerás las razones trigonométricas seno, coseno y tangente
Usarás las razones trigonométricas para encontrar las longitudes laterales
desconocidas en triángulos rectángulos
Usarás las funciones trigonométricas inversas para encontrar las medidas
desconocidas de ángulos en triángulos rectángulos

Leehasta el Ejemplo A de tu libro. En tu libro se explica que en cualquier
triángulo rectángulo con un ángulo agudo de una medida dada, la razón entre la
longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud del cateto adyacente al ángulo
es igual. La razón se llama la tangente del ángulo. En el Ejemplo A se usa el
hecho de que tan 31° Ϸ ᎏ3ᎏ para resolver un problema. Lee el ejemplo atentamente.
5Además de la tangente, los matemáticos han dado nombre a otras cinco razones
relacionadas con las longitudes laterales de los triángulos rectángulos. En este
libro, trabajarás con tres razones: el seno, el coseno y la tangente, abreviados sin,
cos y tan. Estas razones se definen en las páginas 641–642 de tu libro.

Investigación: Tablas trigonométricas

C

Mide las longitudes lateralesde ᭝ABC, redondeando
al milímetro más cercano. Después usa las longitudes
laterales y las definiciones de seno, coseno y
tangente para llenar la fila “Primer ᭝” de la tabla.
Expresa las razones como decimales, redondeando
A
a la milésima más cercana.
mЄA

sin A

cos A

tan A

mЄC

Primer ᭝

20°
20°
—

B

cos C

tan C

70°

Promedio

20°

70°

Segundo ᭝

sin C70°

—

Ahora usa tu transportador para dibujar un triángulo rectángulo diferente ABC,
con mЄA ϭ 20° y mЄC ϭ 70°. Mide los lados redondeando a la milésima más
cercana y llena la fila “Segundo ᭝” de la tabla.
Calcula el promedio de cada razón y anota los resultados en la última fila de
la tabla. Busca patrones en tu tabla. Debes encontrar que sin 20° ϭ cos 70° y
sin 70° ϭ cos 20°.También observa que tan 20° ϭ ᎏ1ᎏ y tan 70° ϭ ᎏ1ᎏ. Usa
tan 70°
tan 20°
las definiciones de seno, coseno y tangente para explicar por qué existen estas
relaciones.
Puedes usar tu calculadora para encontrar el seno, coseno o tangente de cualquier
ángulo. Experimenta con tu calculadora hasta que lo logres. Después usa tu
calculadora para encontrar sin 20°, cos 20°, tan 20°, sin 70°, cos 70° y tan70°.
Compara los resultados con las razones que encontraste midiendo los lados.

(continúa)
Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish
©2008 Key Curriculum Press

CHAPTER 12

161

Lección 12.1 • Razones trigonométricas (continuación)
Puedes usar las razones trigonométricas para encontrar longitudes laterales
desconocidas de un triángulo rectángulo, dadas las medidas de cualquierlado y
cualquier ángulo agudo. Lee el Ejemplo B de tu libro y después lee el Ejemplo A
a continuación.

EJEMPLO A

Encuentra el valor de x.

11 cm

42°

x
ᮣ

Solución

Necesitas encontrar la longitud del cateto adyacente al ángulo de 42°. Se te da
la longitud de la hipotenusa. La razón trigonométrica que relaciona el cateto
adyacente con la hipotenusa es la razón coseno.
x
cos42° ϭ ᎏᎏ
11
11 ؒ cos 42° ϭ x

Multiplica ambos lados por 11.

8.17 Ϸ x

Usa tu calculadora para encontrar cos 42° y multiplica el resultado por 11.

El valor de x es aproximadamente 8.2 cm.
Si conoces las longitudes de cualesquier dos lados de un triángulo rectángulo,
puedes usar las funciones trigonométricas inversas para encontrar las medidas
de los ángulos. En el Ejemplo C de tulibro se muestra cómo usar la función
tangente inversa, o tanϪ1. En el ejemplo siguiente se usa la función seno inverso,
o sinϪ1.

EJEMPLO B

Encuentra la medida del ángulo opuesto al cateto de 32 pulgadas.
74 pulg

32 pulg

z

ᮣ

Solución

Se te dan las longitudes del cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. La razón
que relaciona estas longitudes es la razón seno.
32
sin...