Taller Prob

Teoría de Probabilidad (Hoja de Ejercicios #1)
1. Elaborar un ensayo que incluya las biografías de Pierre de Fermat, Blaise Pascal, Jacobo Bernoulli, Gottfried Leibniz, Carl Friedrich Gauss y AndreiKolmogorov. Hacer énfasis en sus contribuciones al desarrollo de la teoría de la probabilidad. 2. Investigar quién es Persi Diaconis y cuáles son sus principales contribuciones en probabilidad. 3.Demostrar que si  es finito o numerable y si  que contiene todos los conjuntos unitarios entonces es una  álgebra sobre   .

4. Sea G   A una familia arbitraria de -álgebras definidas sobre unconjunto no vacio . Demostrar que H es una -álgebra sobre . 5. Sean  y  dos conjuntos no vacios, Demostrar que:  f 1 M f M
1

 G


2  y f :  Î  una función.

 M

Sugerencia:Para probar “ ” verifique que G : es una -álgebra sobre . 6. Sea A n : 0, 1  Hallar lim sup A n y lim inf A n
n Ý n Ý

A

:f

1

A

 f

1

M

1 2

n

7. Si A

2  , sedefine la función indicadora de A como sigue: 1A   1 si  0 si 
n

A A una sucesión de elementos de A, si lim 1 A n   1 A  para
n Ý

Sean , , P un espacio de probabilidad y A n . Se diceque A n converge a A, y se escribe A n

todo  A. Demostrar que si A n n es una sucesión de elementos de converge a A, entonces A y lim P A n  P A .
n Ý

que

8. Sean A 1 , A 2 , , A n eventos.Demostrar que

P

 Ai
i1

n


i

P Ai
ij n1

P Ai

Aj 
ijk

P Ai

Aj

Ak



 donde ( por ejemplo)
ij

P A1  An . 1 indica la suma sobre todas las parejasordenadas i, j

con i  j. 9. Sean A, B y C eventos. Demostrar que: a. P A  B  P A  P B b. |P A PB | P AB 2P A B

c. P A  C

P AB P BC B 1 C PA C P B C

d. P A  P B  1 Í P A e. A10. a. Supóngase que P A  1 1 PA B . 12 3 b. Supóngase que P A  P A Þ Bc y P Ac B . c. Supóngase que P A  Explicar.
3 4

B

PC

0 Í P AÞB

y que P B  ,PB  , P Bc 
1 4

1 3

....