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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En esta ocasión nos encontramos con una ecuación como la que se muestra en el renglón de abajo

2x cos y  3x y dx  x
2

3

 x 2 sen y  y dy  0



Nuestro análisis comenzará por preguntarnos si esta ecuación es separable, como pueden ver es imposible separar la dependencia de x de la de y , se puede demostrar que la ecuación tampoco eshomogénea, entonces ¿A que clase de ecuación corresponderá? En esta sesión trabajaremos otro tipo de ecuación diferencial, pero antes de esto haremos un par de definiciones importantes Definición. Sea F una función de dos variables reales, tal que F tenga primeras derivadas parciales en un dominio D . La diferencial total dF de la función
F está definida por la fórmula:

dF x, y  

F x, y  Fx, y  dx  dy x y

Para todo x, y  D . Ejemplo Sea F x, y   x4 y3  2 x2 y una función de dos variables reales, para determinar el diferencial total de esta función primero encontremos sus primeras derivadas parciales
F F  4 x3 y 3  4 xy ,  3x 4 y 2  2 x 2 , entonces sustituyendo en la fórmula del x y

diferencial total y obtenemos dF  4 x3 y3  4 xy dx  3x4 y 2  2 x2dy

Definición. La expresión M x, y dx  N x, y dy es llamada un diferencial exacto en un dominio D si existe una función F de dos variables reales tal que esta expresión sea igual al diferencial total dF x, y  para todo x, y   D . Esto es si la primer expresión es un diferencial exacto en D si existe una función
F tal
F x, y   M x, y  y x F x, y   N x, y  y

que

paratodo

x, y   D
Teorema. Considere la ecuación diferencial
M x, y dx  N x, y dy  0

Donde M y N tienen primeras derivadas parciales continuas en todo punto

x, y  en un dominio rectangular
D , entonces

D , si la ecuación diferencial es exacta en

M N  y x

Demostración De la definición de diferencial exacto, existe una función F tal que
F x, y   M x, y  y xF x, y   N x, y  , como sabemos que las derivadas de y

segundo orden cruzadas son iguales, esto es las expresiones
F x, y   M x, y  y x

 2 F  x, y   2 F  x, y   entonces yx xy

F x, y   N x, y  las parcializaremos y

con respecto a y la primera y la segunda con respecto a x
  F x, y    M x, y  y   y  x  y   F x, y      N x, y como señalamos que x  y  x  

 2 F  x, y   2 F  x, y  , entonces  yx xy

  M x, y   N x, y  este de ahora en y x

adelante será el criterio que debe satisfacer una ecuación diferencial para que sea exacta Ahora volvamos al problema original, como resolveremos la ecuación

2x cos y  3x y dx  x
2

3

 x 2 sen y  y dy  0 , para esto existen un par demétodos



que a continuación describiré

Método estándar A partir de la ecuación 2 x cos y  3x2 y dx  x3  x2 sen y  y dy  0 primero veremos si es exacta, para esto aplicaremos el criterio
  M x, y   N x, y  . y x

  M x, y   2 xsen y  3x 2  N x, y  Como se cumple decimos que exacta. y x
F x, y   M x, y   2 x cos y  3x 2 y x y Debemos encontrar F talque entonces F x, y   N x, y   x 3  x 2 sen y  y y

Tomando la primera expresión
F x, y    M x, y x    y    2 x cos y  3x 2 y x    y   x 2 cos y  x3 y    y 





Como esta expresión no sólo debe cumplir la primera condición sino también la segunda, por lo tanto tenemos simplificando
F x, y  d  y    x 2 sen y  x3   N x, y   x3  x 2 seny  y y dy

obtenemos

y2 d   y evaluando la integral   y     c0 2 dy

Sustituyendo este valor en F , tenemos como solución general
y2 F x, y   x cos y  x y   c0  C 2
2 3

o
y2 C 2

x 2 cos y  x3 y 

Método por agrupación. Después de comprobar que la ecuación es exacta, suprimimos los paréntesis, para no perdernos estamos resolviendo la misma ecuación,...