Taller i

Álgebra Lineal
Determinantes de Matrices

Definición del Determinante
Sea “A = aij” una Matriz de “n x n”. Entonces el determinante de “A” esta dado por la expansión por cofactores:
�������� �� = �� =
��=1

��1�� ��1�� = ��11 ��11 + ��12 ��12 + ⋯ + ��1�� ��1��

Nota: • No se debe confundir la matriz “A” entre barras con la notación de valor absoluto o norma de un vector o número complejo.• El determinante de una matriz es un escalar. • Las barras denotan que “A” debe ser una matriz cuadrada. • Se dice que el “Cofactor ij” de “A” se denota como ������

El Cofactor “ij” de una matriz“A”
El cofactor “ij” de una matriz “A” se define como

������ = −1
Nota: • −1
��+��

��+��

������

1 ���� �� + �� ���� ������ = −1 ���� �� + �� ���� ����������

• Se dice que ������ es el“menor ij” o “matriz menor ij” de “A” por ende ������ será el determinante de la matriz menor

La Matriz Menor “ij” de una matriz “A”
������ se llama “el menor ij” o “matriz menor ij” de “A” sipara “A = aij” una Matriz de “n x n”, ������ es la matriz de (n-1) x (n-1) que se obtiene de “A” eliminando el renglón “i” y la columna “j”
Si
�� = ��11 ��21 ⋮ ����1 ⋮ ����1 ��12 … ��22 … ⋮ ⋱ ����2… ⋮ ⋱ ����2 … ��1�� ��2�� ⋮ ������ ⋮ ������ … … ⋱ … ⋱ … ��1�� ��2�� ⋮ ������ ⋮ ������

Entonces
��11 ��21 ⋮ ����1 ⋮ ����1 ��12 … ��1�� ��22 … ��2�� ⋮ ⋱ ⋮ ����2 … ������ ⋮ ⋱ ⋮ ����2 … ������ …��1�� … ��2�� ⋱ ⋮ … ������ ⋱ ⋮ … ������ ��11 ⋮ = �� ��
��−1 1 ��+1 1

������ =

⋮ ����1

… ��1(��−1) ⋮ ⋮ … �� ��−1 (��−1) … �� ��+1 (��−1) ⋮ ⋮ … �� ��(��−1)

��1(��+1) ⋮ �� ��
��−1 (��+1) ��+1(��+1)

⋮ ����(��+1)

… ��1�� ⋮ ⋮ … �� ��−1 �� … ��(��+1)�� ⋮ ⋮ … ������

En Conclusión
Sea “A = aij” una Matriz de “n x n”. Entonces el determinante de “A” esta dado por la expansión por cofactores:��

��

������ �� = �� =
��=1

��1�� ��1�� =

(−1)1+�� ��1�� ��1��
��=1

Determinante de una Matriz 2 x 2
Sea “A = aij” una Matriz de “2 x 2”. Entonces el...